一定積分的概念二定積分的簡單性質(zhì)三定積分的計算四定積(編輯修改稿)
2025-08-13 23:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 202? ???)2s i n21(22tta ?? 02??20? tt dcos 2 22 xay ??xoya機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 且 例 2. 計算 解 : 令 ,12 ?? xt 則 ,dd,212 ttxtx ???,0 時當 ?x ,4 時?x .3?t∴ 原式 = ttttd231 212? ??tt d)3(21 31 2? ??)331(21 3 tt ?? 13。1?t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 且 例 3. 證 : (1) 若 ??? ? aaa xxfxxf 0 d)(2d)(則??? xxfaa d)((2) 若 0d)( ???aa xxf則xxfa d)(0?? xxfa d)(0??ttfa d)(0? ?? xxfa d)(0??xxfxfa d])()([0? ???時)()( xfxf ??時)()( xfxf ???偶倍奇零 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tx ??令?定理 3 （定積分的分部積分公式） 設(shè)函數(shù) u (x) , v (x) 在 [ a , b ]上有連續(xù)導數(shù)，則 ?? ???? bababa dxxuxvxvxudxxvxu )()()()()()(例 4. 計算 解 : 原式 = xx a rc s in021?? 210 xxx d1 2?12?? )1(d)1(21 202 2 121 xx ??? ??12?? 21)1( 2x??02112??23? 1?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 設(shè) 求 解 : (分部積分 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解： 2. 右端 ,],[)( 上有連續(xù)的二階導數(shù)在設(shè) baxf ?)( af且試證 ? ???? ba xfbxax )(d))((21? ?abxfbxax )())((21 ????xbaxxfba d)2)((21 ? ????分部積分積分 再次分部積分 xxfba d)(??? ?abxfbax )()2(21 ????= 左端 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0)( ?bf 解 f (x)在區(qū)間 [1, 2]上不連續(xù)。利用定積分性質(zhì) 4，把在區(qū)間 [1, 2]上的積分分成兩個區(qū)間 [1, 0]和 [0, 2]上的積分。 dxxdxedxxfdxxfdxxf x ????? ???? ?? 20 20 1200 121 )()()( 3 計算 其中 ,)(21 dxxf???????????2001)(2 xxxexf xexe x 1311320201 ???? ? 注意 在積分 中，相當于定義 f (0) = 1，而題 dxedxxf x???? ?0101 )(中 f (0) = 0 ，這并不會改變定積分的值。實際上可以證明，改變被積函 數(shù)在有限個點上的值都不會改變定積分的值。 解 方程 x2－ 2x－ 3 = 0有兩個實根 － 1和 3 ，根據(jù)一元二次不等式的判別，函數(shù) x2－ 2x－ 3 = 0在 [2, 3]上分為兩部分，在 [2, 1]取正值，在[1, 3]上取負值，所以 dxxxdxxxdxxx ??? ???? ???????? 2 1 212 23 2 2 )32()32(32 4 計算 dxxx?? ??322 32于是 ??????????????????31)32(123232222xxxxxxxx13)33()33(21231223??????????xxxxxx 5 設(shè) 求 ,1,211,1)( 2????????? xxxxxf .)(20? dxxf解 ??? ?? 211020 )()()( dxxfdxxfdxxf?? ??? 21 210 21)1( dxxdxx386)1(21 213102 ???? xx用定積分概念解決實際問題的四個步驟： 第一步：將所求量 F 分為部分量之和，即 : ??? niiFF1Δ 。 第二步：求出每個部分量的近似值， iFΔ ≈ )。,2,1(Δ)( nixf ii ??? 第三步：寫出整體量 F 的近似值， ???niiFF1Δ ≈ inii xf Δ)(1??? ； 第四步：取 0}Δm a x { ?? ix? 時的 iniixf Δ)(1??? 極限，則得 ? ?????nibaiixxfxfF10d)(Δ)(l im ??. 定積分的應(yīng)用 而第三、第四兩步可以合并成一步：在區(qū)間 ? ?ba , 上無限累加，即在 ? ?ba , 上積分 . 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，這是 F 能用定積分計算的前提，于是，上述四步簡化 后形成實用的微元法 . 定積分應(yīng)用的微元法 ： ( 一 ) 在區(qū)間 ? ?ba , 上任取一個微小區(qū)間 ? ?xxx d, ? ，然后寫出在這個小區(qū)間上的部分量 FΔ 的近似值，記為 xxfF d)(d ? ( 稱為 F的微元 ) 。 （ 二 ） 將微元 Fd 在 ? ?ba , 上積分（無限累加），即得 .d)(?? ba xxfF觀察上述四步我們發(fā)現(xiàn)，第二步最關(guān)鍵，因為最后的被積表達式的形式就是在這一步被確定的，這只要把近似式 ii xf Δ)( ? 中的變量記號改變一下即可（ i? 換為 x ； ix? 換為 xd ） . 微元法中微元的兩點說明： ( 1 ) xxf d)( 作為 FΔ 的近似值表達式，應(yīng)該足夠準確，確切的說，就是要求其差是關(guān) 于 xΔ 的高階無窮小 . 即 )Δ(d)(Δ xoxxfF ?? . 這樣我們就知道了，稱作微元的量 xxf d)( ，實際上是所求量的微分 Fd 。 ( 2 ) 具體怎樣求微元呢 ? 這是問題的關(guān)鍵，這 要 分析問題的 實際 意義 及數(shù)量關(guān)系，一般按 著 在局部 ? ?
規(guī)章制度相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1