【文章內容簡介】 數(shù)列可以看作特殊的函數(shù)， an， Sn都是關于 n 的函數(shù)，處理數(shù)列問題要樹立函數(shù)思想，類比研究函數(shù)的方法來解決數(shù)列的相關問題，比如類比用函數(shù)單調性求最值的方法去求數(shù)列的最大項、最小項等． 3 ．對等差、等比數(shù)列的判斷與證明，一個是依據等差、等比數(shù)列的定義，另一個依據是等差、等比中項的定義． 4 ．求數(shù)列通項公式的題型方法很多，主要有：構造法，疊加法 ，累乘法，迭代法等，要善于總結，歸類，才能行之有效． 第 10講 │ 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應用 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的 綜合應用 主干知識整合 第 10講 │ 主干知識整合 一、數(shù)列求和 數(shù)列求和的關鍵是弄清數(shù)列的特點，即通項的結構特征決定求和所用的方法，對通項化簡、拆分、變形等是數(shù)列求和的切入點．常見的求和方法有 ： ( 1) 公式法求和， ( 2) 倒序相加法， ( 3) 錯位相減法， ( 4) 分組求和法 ( 5) 裂項相消法， ( 6) 并項求和法， ( 7) 周期性求和 第 10講 │ 主干知識整合 二、數(shù)列的綜合應用 數(shù)列的綜合應用體現(xiàn)在與其他知識的交匯上， 主要是： ( 1) 數(shù)列與不等式：在解題時要有單調性的思想，多向作差比較、基本不等式、放縮法等方面聯(lián)系． ( 2) 數(shù)列與函數(shù)、方程：數(shù)列本身就是一類特殊的函數(shù)，數(shù)列的一些性質很容易類比到函數(shù)上來， 比如數(shù)列的單調性、最值跟函數(shù)如出一轍，再者：函數(shù)有圖象，容易與其切線、切線的斜率 ( 即函數(shù)的導數(shù) ) 結合． ( 3) 數(shù)列與解析幾何：只要將曲線上的點的坐標用點列來表示，那么數(shù)列就可以和解析幾何聯(lián)系起來，解題時一般要聯(lián)系曲線的幾何性質． 要點熱點探究 第 10講 │ 要點熱點探究 ? 探究點一 數(shù)列求和 例 1 設數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn， a1＝ 1 ， an＝Snn＋ 2( n－ 1) ( n ∈ N*) ． ( 1) 求證：數(shù)列 { an} 為等差數(shù)列，并分別寫出 an和 Sn關于 n 的表達式； ( 2) 設數(shù)列1anan ＋ 1的前 n 項和為 Tn，證明：15≤ Tn14. 第 10講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1) 由 an＝Snn＋ 2( n － 1) ， 得 Sn＝ nan－ 2 n ( n － 1) ( n ∈ N*) ． 當 n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1＝ nan－ ( n － 1) an － 1－ 4( n － 1) ， 即 an－ an － 1＝ 4 ， ∴ 數(shù)列 { an} 是以 a1＝ 1 為首項， 4 為公差的等差數(shù)列， 于是， an＝ 4 n － 3 ， Sn＝? a1＋ an? n2＝ 2 n2－ n ( n ∈ N*) ． 第 10講 │ 要點熱點探究 ( 2 ) 證明 ： Tn＝1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1anan＋1 ＝11 5＋15 9＋19 13＋ ? ＋1? 4 n － 3 ? ? 4 n ＋ 1 ? ＝14??????1 －15＋??????15－19＋??????19－113＋ ? ＋14 n － 3－14 n ＋ 1＝14????????1 －14 n ＋ 1＝n4 n ＋ 1n4 n＝14， 又 Tn單調遞增 ， 故 Tn≥ T1＝15， 于是15≤ Tn14. 第 10講 │ 要點熱點探究 【點評】 本題的難點是數(shù)列求和中的裂項相消法，即將1anan＋1＝1? 4 n － 3 ?? 4 n ＋ 1 ?變形為1anan＋1＝1414 n － 3－14 n ＋ 1，再相消求和．裂項相消法求和時應注意兩個容易出錯的地方：其一是分拆1? 4 n － 3 ?? 4 n ＋ 1 ?＝14????????14 n － 3－14 n ＋ 1時的 系數(shù)14容易錯誤或遺忘，它是 (4 n ＋ 1) － (4 n － 3) ＝ 4 的倒數(shù)；其二是中間部分整體相消后應保留的項數(shù)問題， 第 10講 │ 要點熱點探究 如 Tn＝11 3＋12 4＋13 5＋ ? ＋1n ? n ＋ 2 ?＝12 ??????1 －13＋??????12－14＋??????13－15＋ ? ＋????????1n － 1－1n ＋ 1＋????????1n－1n ＋ 2＝12??????1 ＋12＋ ? ＋1n－13＋14＋ ? ＋1n ＋ 1＋1n ＋ 2，相消后前面的部分應保留前兩項 1 和12，后面的部分應保留后兩項1n ＋ 1和1n ＋ 2. 第 10講 │ 要點熱點探究 例 2 已知數(shù)列 { a n } 的前 n 項和為 S n ，且 a 1 ＝ 1 ，數(shù)列 { a n＋ S n } 是公差為 2 的等差數(shù)列． ( 1) 求 a 2 ， a 3 的值； ( 2) 證明：數(shù)列 { a n － 2} 是等比數(shù)列； ( 3) 求數(shù)列 { na n } 的前 n 項和 T n . 第 10講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) ∵ 數(shù)列 { an＋ Sn} 是公差為 2 的等差數(shù)列 ， ∴ ( an ＋ 1＋ Sn ＋ 1) － ( an＋ Sn) ＝ 2 ， 即 an ＋ 1＝an＋ 22( n ∈ N*) ． 又 ∵ a1＝ 1 ， ∴ a2＝32， a3＝74. ( 2 ) 證明 ： 由題意 ， 得 a1－ 2 ＝－ 1 ， 又 ∵an ＋ 1－ 2an－ 2＝an＋ 22－ 2an－ 2＝12， ∴ 數(shù)列 { an－ 2} 是首項為 － 1 ， 公比為12的等比數(shù)列 ． 第 10講 │ 要點熱點探究 ( 3) 由 ( 2) 得 an－ 2 ＝－??????12n － 1， ∴ nan＝ 2 n － n ??????12n － 1( n ∈ N*) ． ∴ Tn＝ (2 － 1) ＋??????4 － 212＋??????6 － 3??????122＋ ? ＋??????2 n － n ??????12n － 1， 即 Tn＝ (2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ ? ＋ 2 n ) － 1 ＋ 212＋ 3122＋ ? ＋ n 12n － 1. 設 An＝ 1 ＋ 212＋ 3??????122＋ ? ＋ n ??????12n － 1， ① 則12An＝12＋ 2??????122＋ 3??????123＋ ? ＋ ( n － 1) ??????12n － 1＋ n ??????12n② 第 10講 │ 要點熱點探究 ① － ② 得12An＝ 1 ＋12＋??????122＋??????123＋ ? ＋??????12n － 1－ n ??????12n＝1 －??????12n1 －12－ n ??????12n， ∴ An＝ 4 － ( n ＋ 2) ??????12n － 1， 于是， Tn＝n ? 2 ＋ 2 n ?2＋ ( n ＋ 2) ??????12n － 1－ 4 ＝ ( n ＋ 2) ??????12n － 1＋ n ( n＋ 1) － 4( n ∈ N*) ． 第 10講 │ 要點熱點探究 【點評】 本題的難點是求數(shù)列 { nan} 的和，解題時首先采用了分組求和的方法，得到 Tn＝ (2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ ? ＋ 2 n )－??????1 ＋ 212＋ 3??????122＋ ? ＋ n ??????12n － 1，然后分別對 An＝ 2 ＋ 4 ＋ 6＋ ? ＋ 2 n 和 Bn＝ 1 ＋ 212＋ 3??????122＋ ? ＋ n ??????12n － 1求和．這里，An＝ 2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ ? ＋ 2 n 是等差數(shù)列的求和模型， Bn＝ 1 ＋ 212＋ 3??????122＋ ? ＋ n ??????12n － 1的求解，是錯位相減法的求和 模型， 第 10講 │ 要點熱點探究 其中 ， 用錯位相減法求和的數(shù)列??????n ??????12n － 1的特點是由一個等差數(shù)列 { n } 和一個等比數(shù)列???