16725定態(tài)薛定諤方程解的算例(編輯修改稿)
2025-08-13 19:22 本頁面
【文章內容簡介】 4）。 試求這一疊加態(tài)的概率分布。 3/ 2 階躍勢 定義：勢能在空間某一位置由一個值突然變 為另一個值的勢場。 ( ) 0Vx?0()V x V?0x)(xV21 22 mEk ?221112d ( ) ( ) 0dx kxx? ???11( ) e eik x ik xI x A B? ???粒子在階躍勢場中的運動 00,()VxV?? ??00xx??在量子力學中，只需要求解薛定諤方程： 22 ( ) ( ) ( )2 V x x E xm ????? ? ? ?????a)對 x0區(qū)域， V(x)=0 X0區(qū)域內薛定諤方程的通解： 向右傳播 的行波 ↓ 向左傳播 的行波 ↓ 0EV?設粒子的總能量 2022 )(2?EVmk ??222 ( ) ek x k xx C e D? ???22022 2 2222 ( )d ( ) ( ) ( )dm V Ex x k xx? ?????在 x0區(qū)域要使 滿足 “ 有限 ” 的要求， ⑴ 必須要求 C=0。 ⑵ 要使波函數(shù)連續(xù)，在 x=0的位置應該有： b) x0 區(qū)域 V(x)=V0 薛定諤可以寫為 ： 其通解為： 如果這兩個區(qū)域波函數(shù)滿足物理條件，那么這四個解它一定 是 單值 、 有限 和 連續(xù) ，否則就不滿足波函數(shù)的標準條件。 2()x?12( 0) ( 0)???首先它們滿足 單值 性的要求 1200( ) ( )xxd x d xd x d x?????把兩個區(qū)域中的通解代入上兩式，可以得到： 21A B DkA B i Dk????21211212kDAikkDBik????????????????11222111122()k x k xkxkkDDi e i ekkxDe????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???0x?0x?于是 另外，勢能在全區(qū)域有限，且波函數(shù)和能量 E 也有限，從而波 函數(shù)的二階導數(shù)也將有限。因此，要求其一階導數(shù)連續(xù)，有： D為任意常數(shù)，它取決于波函數(shù)振幅的大小，可由歸一化條件確定 ? 物理意義： X0， 波 函數(shù)可以看成向右和向左傳播的行波的疊加。由于它們振幅的絕對值相等， 疊加后將形成駐波 。因此波函數(shù)是隨時間 t 振蕩的函數(shù)。 ? X0， 它們的概率密度為： 22( , ) ( , ) kxx t x t D D e?? ??? ?在此區(qū)域隨 x的增大而隨指數(shù)快速衰減，但在 x=0的附近不為零 。 表明，在 X0的區(qū)域有一定的幾率能夠發(fā)現(xiàn)或找到粒子的可能！ 由上式可知，出現(xiàn)這種幾率只在 x=0的很小的區(qū)域內，即 21xk??)(2102 EVmk ?? ?它常稱為： 透入距離 范圍內才有顯著的值，超過此范圍將快速趨于零 ? 在經(jīng)典物理中，如果粒子的總能量小于勢阱的高度，粒子由于無法越過這一能量差而只能在勢阱之內運動，要想越過這個勢能區(qū)是完全不可能的！ ? 但按照量子力學理論給出，其勢能大于總能量的區(qū)域內，即勢阱之外，波函數(shù)并不等于零。 ? 說明粒子仍有一定的概率密度，雖然這個概率密度是以指數(shù)規(guī)律隨進入該區(qū)域的深度而快速減小的， 意味著 但它可以穿透勢阱壁進入勢阱之外的區(qū)域。 如何理解量子力學給出的這一結果？為什么粒子的動能可能有負值？ ? 在 Ⅱ 區(qū)（ EV0） xkeDx 2222)( ??? kx 21?可以看做粒子進入該區(qū)域的典型深度，在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率 已降為 1/e。該距離我們可以認為是在此區(qū)域內發(fā)現(xiàn)粒子的位置 不確定度。即 )(22210 EVmkx?????這要歸之于 不確定關系 ！ 若 根據(jù)不確定關系，粒子在這段距離內的動量不確定度為： 粒子進入的速度可以認為是 )(2 0 EVmxp ????? ?mEVmpvv )(2 0 ??????于是粒子進入的時間不確定度為： )(4 0 EVvxt????? ?由此，按 能量－時間 不確定關系式，粒子能量的不確定度為 此時，粒子的總能量將是 )(22 0 EVtE ????? ?EVVEEE k ??????? 00粒子在到達區(qū)域內，其動能的不確定度大于其名義上的 負動能 值。 因此，該 負動能 只不過是被不確定關系 “ 掩蓋 ” 了，它只是一 種觀察不到的 “ 虛 ” 動能。這和實驗上能觀察到的能量守恒并 不矛盾。 方勢壘 ? 方勢壘如圖所示，哈密頓方程為 0?V0VV?1x x)(xV0?V2x222d ( ) 2 ( ) ( ) 0dx m V E xx? ????0?V2212d 0d kx? ???1111( ) e eik x ik xI x A B? ???221 2?mEk ?EVV ?? 0 2 222d ( ) ( ) 0dx kxx? ??? 2022 )(2 ? EVmk ??2222( ) e ek x k xII x A B? ???13() ik xIII x A e? ?I II IIIIII區(qū)II區(qū)0?VI區(qū)通解 通解 2212 0d kdx? ??? 方程同 Ⅰ 區(qū)，但這 里無反射波，故 111 1 1( ) e eik x ik xx A B? ???222 2 2( ) e e
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