線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(編輯修改稿)
2024-09-11 20:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2 2 1 21 2 1 2sI A s s s sssI AsI AssI A s ss s s ss s s s?? ? ? ? ? ? ?????? ? ????? ? ? ????????? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ????解 (1) 首先求出矩陣指數(shù)函數(shù) eAt,其計算過程為 ? 例 試求如下狀態(tài)方程在初始狀態(tài) x0下的解 00 1 12 3 2? ? ? ?? ??? ? ? ???? ? ? ?x x x(3) 狀態(tài)方程的解為 20 24 e 3 e( ) e4 e 6 ettAtttt???????????????xx???????????????????????????????????????????????????ttttttttAtssssssssLAsIL2222111e2ee2e2eeee22211221221112112])[(e(2) 計算矩陣指數(shù)函數(shù) eAt。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ? 下面進一步討論前面引入的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ,主要內(nèi)容為 : ? 基本定義 ? 矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 1. 基本定義 ? 定義 對于線性定常連續(xù)系統(tǒng) x’=Ax,當初始時刻 t0=0時 ,滿足如下矩陣微分方程和初始條件 : ?’ (t)=A?(t), ?(t)|t=0=I 的解 ?(t)為線性定常連續(xù)系統(tǒng) x’=Ax的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 ? 這里定義的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與前面定義的是一致的。 ? 引入上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣新定義 ,主要是為了使狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念易于推廣到時變系統(tǒng)、離散系統(tǒng)等 , ? 使得有可能對各種類型系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解作統(tǒng)一描述 ，更好地刻劃系統(tǒng)狀態(tài)運動變化的規(guī)律 。 2. 矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) ? 由矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式和 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義 ,可證明矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有如下性質(zhì) (Φ(t)為方陣 A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ) 1) Φ(0)=eA0=I 2) eA(t+s)=eAteAs ， Φ(t+s)=Φ(t)Φ(s) 式中 t和 s為兩個獨立的標量自變量 證明 由指數(shù)矩陣函數(shù)的展開式 ,有 3) [Φ(t2t1)]1=Φ(t1t2) )(2222222. . .)(!. . .)2(!2)(. . .!. . .!2. . .!. . .!2stAkkkkkkAsAtstkAststAstAIskAsAAsItkAtAAtI???????????????????????????????????????eee? ? )()(1)( 211212 eee ttAttAttA ????? ??4) 對于 n?n階的方陣 A和 B,下式僅當 AB=BA時才成立 e(A+B)t=eAteBt 5) 6) [Φ(t)]n=Φ(nt) 7) Φ(t2t1)Φ(t1t0)=Φ(t2t0) 8) ? ?τ τeeA t A t?e e e , ( ) ( ) ( )d A t A t A td A A t A t t At ? ? ? ? ? ? ?? 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義 ,有 x(t2)=Φ(t2t1)x(t1) =Φ(t2t1)[Φ(t1t0)x(t0)] =[Φ(t2t1)Φ(t1t0)]x(t0) 而 x(t2)=Φ(
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1