線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解-全文預(yù)覽
【正文】 是 由輸入所引起的系統(tǒng)強(qiáng)迫運(yùn)動 ,其值為輸入函數(shù)與矩陣指數(shù)函數(shù)的卷積。 ? 下面先回顧卷積積分的拉氏變換法則。 ? 解 ： 對于該系統(tǒng) , 求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 由于 Φ1(t)=Φ(t),所以求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆矩陣為 xx ????????? 3210????????????????????????ttttttttAtet2222e2ee2e2eeee2)(???????????????? ?tttttttttt 22221e2ee2e2eeee2)()(非齊次狀態(tài)方程的解 ? 當(dāng)線性定常連續(xù)系統(tǒng)具有輸入作用時(shí) ,其狀態(tài)方程為如下非齊次狀態(tài)方程 : x’=Ax+Bu 該狀態(tài)方程在初始狀態(tài) 0 0( ) ( )tttt? ?xx下的解 , ? 也就是 由初始狀態(tài) x(t0)和輸入作用 u(t)所引起的系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動軌跡 。 ? 這里定義的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與前面定義的是一致的。 ?所以 ,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動的全部信息。 ? 若初始時(shí)刻 t0?0,對上述齊次狀態(tài)方程的解作坐標(biāo)變換 ,則可得解的另一種表述形式 : 0() 0( ) e ( )A t ttt??xx? 狀態(tài)方程的解表達(dá)式說明了齊次狀態(tài)方程的解實(shí)質(zhì)上是初始狀態(tài) x(t0)從初始時(shí)刻 t0到時(shí)刻 t系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的轉(zhuǎn)移 ,其轉(zhuǎn)移特性和時(shí)刻 t的狀態(tài) 完全由矩陣指數(shù)函數(shù) 和初始狀態(tài) x(t0)所決定。 ? 由于它類似于標(biāo)量指數(shù)函數(shù)的無窮級數(shù)展開式 ,所以稱為矩陣指數(shù)函數(shù) ,且記為 220( ) . . . . . .2 ! !kkAAt I A t t tk??? ? ? ? ? ?????xx. . .!. . .!2 22??????? kkAttkAtAAtIe? 利用矩陣指數(shù)函數(shù)符號 ,齊次狀態(tài)方程的解可寫為： x(t)=eAtx0 2．拉氏變換法 ? 若將對標(biāo)量函數(shù)拉氏變換的定義擴(kuò)展到向量函數(shù)和矩陣函數(shù) ,定義對向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的拉氏變換為分別對該向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的各個(gè)元素求相應(yīng)的拉氏變換 ,那么可利用拉氏變換及拉氏反變換的方法求解齊次狀態(tài)方程 的解。 ? 因此 ,使 t有相同冪次項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)相等 ,即可求得 ? 令 x(t)的解表達(dá)式中 t=0,可確定 q0=x(0) ? 因此 , x(t)的解表達(dá)式可寫為 )(32 221012321 ???? ??????????? ? kkkk tqtqtqqatkqtqtqq21 0 2 1 0 1 0, , ,1 ! 2 2 ! !kkka a a a aq q q q q q q qkk ?? ? ? ? ?)0(e)0(. . .!. . .!21)( 22xxtkataattx atkk????????? ??????? 上述求解標(biāo)量微分方程的級數(shù)展開法 ,可推廣至求解向量狀態(tài)方程的解。 ? 該方程中 x(t)為標(biāo)量變量 ,a為常數(shù)。 ? 研究非齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)在外力作用下的 強(qiáng)迫運(yùn)動 。 ? 在討論一般線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解之前 ,先討論線性定常齊次狀態(tài)方程的解 ,以引入矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣等概念。線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 ? 求解狀態(tài)方程是進(jìn)行動態(tài)系統(tǒng)分析與綜合的基礎(chǔ) ,是進(jìn)行定量分析的主要方法。 ? 該概念對我們深刻理解系統(tǒng)的動態(tài)特性、狀態(tài)的變遷 (動態(tài)演變 )等都是非常有幫助的 ,對該概念必須準(zhǔn)確掌握和深入理解。 ? 所謂非齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中輸入項(xiàng)的作用 ,狀態(tài)方程解對輸入具有非齊次性。 ? 對上述齊次狀態(tài)方程 ,常用的常微分方程求解方法有 ? 級數(shù)展開法 ? 拉氏變換法 1. 級數(shù)展開法 ? 在求解齊次狀態(tài)方程式之前 ,首先觀察標(biāo)量常微分方程 在初始時(shí)刻 t0=0的解。 )()( taxtx ???? ?????? kk tqtqtqqtx 2210)(? 將所設(shè)解代入
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