【正文】 ,該解經(jīng)泰勒展開(kāi)可表征為無(wú)窮級(jí)數(shù) ,即有 式中 ,qk(k=1,2,...)為待定級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)。 ? 本節(jié)講授的狀態(tài)方程求解理論是建立在狀態(tài)空間上 ,以矩陣代數(shù)運(yùn)算來(lái)描述的定系數(shù)常微分方程解理論。 ? 為此 ,設(shè)其解為 t的向量?jī)缂?jí)數(shù) ,即 x(t)=q0+q1t+q2t2+… +qktk+… 式中 ,qk(k=1,2,...)為待定級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)向量。 ? 引入上述狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣新定義 ,主要是為了使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念易于推廣到時(shí)變系統(tǒng)、離散系統(tǒng)等 , ? 使得有可能對(duì)各種類型系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解作統(tǒng)一描述 ，更好地刻劃系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律 。 ? 第一個(gè)部分是由初始狀態(tài)所引起的自由運(yùn)動(dòng) ? 第二個(gè)部分是由輸入所引起的系統(tǒng)強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。 ? 因此 ,它與輸入有關(guān) ,與 系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān) , ? 稱為狀態(tài)的 零狀態(tài)響應(yīng) 。 ? 可見(jiàn) ,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算是齊次狀態(tài)方程求解的關(guān)鍵。 ? 由常微分方程理論知 ,該方程的解連續(xù)可微。 ? 下面基于矩陣代數(shù)運(yùn)算的狀態(tài)方程解理論中 ,引入了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣這一基本概念。 ? 將所設(shè)解代入該向量狀態(tài)方程 x’=Ax,可得 q1+2q2t+3q3t2 +… +kqktk1+… =A(q0+q1t+q2t2 +… +qktk+…) ? 如果所設(shè)解是方程的真實(shí)解 ,則對(duì)任意 t,上式均成立。 2. 矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) ? 由矩陣指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式和 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義 ,可證明矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有如下性質(zhì) (Φ(t)為方陣 A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ) 1) Φ(0)=eA0=I 2) eA(t+s)=eAteAs ， Φ(t+s)=Φ(t)Φ(s) 式中 t和 s為兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量自變量 證明 由指數(shù)矩陣函數(shù)的展開(kāi)式 ,有 3) [Φ(t2t1)]1=Φ(t1t2) )(2222222. . .)(!. . .)2(!2)(. . .!. . .!2. . .!. . .!2stAkkkkkkAsAtstkAststAstAIskAsAAsItkAtAAtI???????????????????????????????????????eee? ? )()(1)( 211212 eee ttAttAttA ????? ??4) 對(duì)于 n?n階的方陣 A和 B,下式僅當(dāng) AB=BA時(shí)才成立 e(A+B)t=eAteBt 5) 6) [Φ(t)]n=Φ(nt) 7) Φ(t2t1)Φ(t1t0)=Φ(t2t0) 8) ? ?τ τeeA t A t?e e e , ( ) ( ) ( )d A t A t A td A A t A t t At ? ? ? ? ? ? ?? 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義 ,有 x(t2)=Φ(t2t1)x(t1) =Φ(t2t1)[Φ(t1t0)x(t0)] =[Φ(t2t1)Φ(t1t0)]x(t0) 而 x(t2)=Φ(t2t0)x(t0) 因此 ， 性質(zhì) (7)表明 ,在系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程中 ,既可以將系統(tǒng)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移分解成多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移 ,也可以將系統(tǒng)的多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移等效為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移 ,如圖所示 。 ? 第三個(gè)部分是由直聯(lián)項(xiàng)引起的前饋?lái)憫?yīng)。 ? 第二個(gè)部分是 由輸入所引起的系統(tǒng)強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng) ,其值為輸入函數(shù)與矩陣指數(shù)函數(shù)的卷積。 ?所以 ,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的全部信息。 ? 該方程中 x(t)為標(biāo)量變量 ,a為常數(shù)。 ? 該概念對(duì)我們深刻理解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性、狀態(tài)的變遷 (動(dòng)態(tài)演變 )等都是非常有幫助的 ,對(duì)該概念必須準(zhǔn)確掌握和深入理解。 ? 因此 ,使 t有相同冪次項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)相等 ,即可求得 21 0 2 1 0 1 0, , ,1 ! 2 2 ! !kkkA A A A Ak