線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(更新版)
【正文】 00 tDBtCtCt t uuxy ??? ?或 ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸出的解由 3個(gè)部分相加組成。 ? 下面先回顧卷積積分的拉氏變換法則。 ? 這里定義的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與前面定義的是一致的。 ? 若初始時(shí)刻 t0?0,對(duì)上述齊次狀態(tài)方程的解作坐標(biāo)變換 ,則可得解的另一種表述形式 : 0() 0( ) e ( )A t ttt??xx? 狀態(tài)方程的解表達(dá)式說明了齊次狀態(tài)方程的解實(shí)質(zhì)上是初始狀態(tài) x(t0)從初始時(shí)刻 t0到時(shí)刻 t系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移 ,其轉(zhuǎn)移特性和時(shí)刻 t的狀態(tài) 完全由矩陣指數(shù)函數(shù) 和初始狀態(tài) x(t0)所決定。 ? 因此 ,使 t有相同冪次項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)相等 ,即可求得 ? 令 x(t)的解表達(dá)式中 t=0,可確定 q0=x(0) ? 因此 , x(t)的解表達(dá)式可寫為 )(32 221012321 ???? ??????????? ? kkkk tqtqtqqatkqtqtqq21 0 2 1 0 1 0, , ,1 ! 2 2 ! !kkka a a a aq q q q q q q qkk ?? ? ? ? ?)0(e)0(. . .!. . .!21)( 22xxtkataattx atkk????????? ??????? 上述求解標(biāo)量微分方程的級(jí)數(shù)展開法 ,可推廣至求解向量狀態(tài)方程的解。 ? 研究非齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)在外力作用下的 強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng) 。線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 ? 求解狀態(tài)方程是進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析與綜合的基礎(chǔ) ,是進(jìn)行定量分析的主要方法。 ? 所謂非齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中輸入項(xiàng)的作用 ,狀態(tài)方程解對(duì)輸入具有非齊次性。 )()( taxtx ???? ?????? kk tqtqtqqtx 2210)(? 將所設(shè)解代入該微分方程 ,可得 ? 如果所設(shè)解是方程的真實(shí)解 ,則對(duì)任意 t,上式均成立。 ? 對(duì)標(biāo)量函數(shù) ,我們有 2112322111( ) ... ...1 ... ... [ ( ) ]2 ! !kkkkata a asas s s sa t a tat L s ak????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?e? 將上述關(guān)系式推廣到矩陣函數(shù)則有 ...!...!2......)(2213221????????????????ktAtAAtIsAsAsAsIAsIkkAtkke其中 eAt稱為時(shí)間 t的矩陣指數(shù)函數(shù)，并有 AtkkkkktAtAAtIsAsAsAsILAsILe????????????????????????...!...!2......])[(221322111? 因此 ,基于上述 (sIA)1的拉氏反變換 ,該齊次方程的解為 x(t)=L1[(sIA)1]x0 = eAt x0 ? 上述拉氏反變換法求解結(jié)果與前面的級(jí)數(shù)展開法求解結(jié)果一致。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ? 下面進(jìn)一步討論前面引入的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ,主要內(nèi)容為 : ? 基本定義 ? 矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 1. 基本定義 ? 定義 對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng) x’=Ax,當(dāng)初始時(shí)刻 t0=0時(shí) ,滿足如下矩陣微分方程和初始條件 : ?’ (t)=A?(t), ?(t)|t=0=I 的解 ?(t)為線性定常連續(xù)系統(tǒng) x’=Ax的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 ? 對(duì)上式兩邊取拉氏反變換 ,并利用卷積分公式 ,則有 ? ? ? ?)()()()( 11011 sBUAsILAsILt ???? ???? xx上述求解的關(guān)鍵為等式右邊第二項(xiàng)。 ? 如果人為地選擇輸入信號(hào) (施以控制 ),就可以使系統(tǒng)狀態(tài)在狀態(tài)空間中獲得所期望的狀態(tài)軌線。
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