線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(已修改)
2025-08-27 20:38 本頁面
【正文】 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 ? 求解狀態(tài)方程是進行動態(tài)系統(tǒng)分析與綜合的基礎 ,是進行定量分析的主要方法。 ? 本節(jié)講授的狀態(tài)方程求解理論是建立在狀態(tài)空間上 ,以矩陣代數(shù)運算來描述的定系數(shù)常微分方程解理論。 ? 下面基于矩陣代數(shù)運算的狀態(tài)方程解理論中 ,引入了狀態(tài)轉移矩陣這一基本概念。 ? 該概念對我們深刻理解系統(tǒng)的動態(tài)特性、狀態(tài)的變遷 (動態(tài)演變 )等都是非常有幫助的 ,對該概念必須準確掌握和深入理解。 ? 在討論一般線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解之前 ,先討論線性定常齊次狀態(tài)方程的解 ,以引入矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉移矩陣等概念。 ? 所謂齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中不考慮輸入項(u(t)=0)的作用 ,滿足方程解的齊次性。 ? 研究齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)本身在無外力作用下的 自由 (自治 )運動 。 ? 所謂非齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中輸入項的作用 ,狀態(tài)方程解對輸入具有非齊次性。 ? 研究非齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)在外力作用下的 強迫運動 。 線性定常齊次狀態(tài)方程的解 ? 什么是微分方程的齊次方程 ? ? 齊次方程就是指滿足解的 齊次性 的方程，即若 x是方程的解，則對任意非零的實數(shù) a,ax亦是該方程的解。 ? 所謂齊次狀態(tài)方程，即為下列不考慮輸入的 方程 x’=Ax ? 齊次狀態(tài)方程滿足初始狀態(tài) 0 0( ) ( )tttt? ?xx的解 ,也就是由初始時刻 t0的初始狀態(tài) x(t0)所引起的無輸入強迫項 (無外力 )時的 自由運動 。 ? 對上述齊次狀態(tài)方程 ,常用的常微分方程求解方法有 ? 級數(shù)展開法 ? 拉氏變換法 1. 級數(shù)展開法 ? 在求解齊次狀態(tài)方程式之前 ,首先觀察標量常微分方程 在初始時刻 t0=0的解。 ? 該方程中 x(t)為標量變量 ,a為常數(shù)。 ? 由常微分方程理論知 ,該方程的解連續(xù)可微。 ? 因此 ,該解經(jīng)泰勒展開可表征為無窮級數(shù) ,即有 式中 ,qk(k=1,2,...)為待定級數(shù)展開系數(shù)。 )()( taxtx ???? ?????? kk tqtqtqqtx 2210)(? 將所設解代入該微分方程 ,可得 ? 如果所設解是方程的真實解 ,則對任意 t,上式均成立。 ? 因此 ,使 t有相同冪次項的各項系數(shù)相等 ,即可求得 ? 令 x(t)的解表達式中 t=0,可確定 q0=x(0) ? 因此 , x(t)的解表達式可寫為 )(32 221012321 ???? ??????????? ? kkkk tqtqtqqatkqtqtqq21 0 2 1 0 1 0, , ,1 ! 2 2 ! !kkka a a a aq q q q q q q qkk ?? ? ? ? ?)0(e)0(. . .!. . .!21)( 22xxtkataattx atkk????????? ??????? 上述求解標量微分方程的級數(shù)展開法 ,可推廣至求解向量狀態(tài)方程的解。 ? 為此 ,設其解為 t的向量冪級數(shù) ,即 x(t)=q0+q1t+q2t2+… +qktk+… 式中 ,qk(k=1,2,...)為待定級數(shù)展開系數(shù)向量。 ? 將所設解代入該向量狀態(tài)方程 x’=Ax,可得 q1+2q2t+3q3t2 +… +kqktk1+… =A(q0+q1t+q2t2 +… +qktk+…) ? 如果所設解是方程的真實解 ,則對任意 t,上式均成立。 ? 因此 ,使 t有相同冪次項的各項系數(shù)相等 ,即可求得 21 0 2 1 0 1 0, , ,1 ! 2 2 ! !kkkA A A A Akk ?? ? ? ? ?q q q q q q q q? 若初始時刻 t0=0,初始狀態(tài) x(0)=x0,則 可確定 q0=x(0)=x0 ? 因此 , 狀態(tài) x(t)的解可寫為 該方程右邊括號里的展開式是 n n維矩陣函數(shù)。 ? 由于它類似于標量指數(shù)函數(shù)的無窮級數(shù)展開式 ,所以稱為矩陣指數(shù)函數(shù) ,且記為 220( ) . . . . . .2 ! !kkAAt I A t t tk?
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