【正文】 ? 如果人為地選擇輸入信號(hào) (施以控制 ),就可以使系統(tǒng)狀態(tài)在狀態(tài)空間中獲得所期望的狀態(tài)軌線。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ? 下面進(jìn)一步討論前面引入的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ,主要內(nèi)容為 : ? 基本定義 ? 矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 1. 基本定義 ? 定義 對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng) x’=Ax,當(dāng)初始時(shí)刻 t0=0時(shí) ,滿足如下矩陣微分方程和初始條件 : ?’ (t)=A?(t), ?(t)|t=0=I 的解 ?(t)為線性定常連續(xù)系統(tǒng) x’=Ax的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 )()( taxtx ???? ?????? kk tqtqtqqtx 2210)(? 將所設(shè)解代入該微分方程 ,可得 ? 如果所設(shè)解是方程的真實(shí)解 ,則對(duì)任意 t,上式均成立。線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 ? 求解狀態(tài)方程是進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析與綜合的基礎(chǔ) ,是進(jìn)行定量分析的主要方法。 ? 因此 ,使 t有相同冪次項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)相等 ,即可求得 ? 令 x(t)的解表達(dá)式中 t=0,可確定 q0=x(0) ? 因此 , x(t)的解表達(dá)式可寫為 )(32 221012321 ???? ??????????? ? kkkk tqtqtqqatkqtqtqq21 0 2 1 0 1 0, , ,1 ! 2 2 ! !kkka a a a aq q q q q q q qkk ?? ? ? ? ?)0(e)0(. . .!. . .!21)( 22xxtkataattx atkk????????? ??????? 上述求解標(biāo)量微分方程的級(jí)數(shù)展開法 ,可推廣至求解向量狀態(tài)方程的解。 ? 這里定義的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與前面定義的是一致的。 )(d)(Ce)(e)(00 )(0)( tDBtCt tttAttA uuxy ??? ? ?? ???)(d)(Cee)( 0 )(0 tDBCt t tAAt uuxy ??? ? ? ???)(τd)τ()τ(Φ)()(Φ)(000tDBtCtttCt tt uuxy ??? ?或 或 4. 輸出方程的解 ? 由非齊次狀態(tài)方程的解 x(t),可得輸出方程 y=Cx+Du 的輸出響應(yīng)為 )(d τ)τ()τ(Φ)(Φ)( 00 tDBtCtCt t uuxy ??? ?或 ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸出的解由 3個(gè)部分相加組成。 ? 狀態(tài)方程的解表明 ,系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài) x(t0)和從初始時(shí)刻 t0以來(lái)的輸入。 213 2 ( 1 ) ( 2)31a dj ( ) 1()2( 1 ) ( 2)2 1 1 11 2 1 22 2 1 21 2 1 2sI A s s s sssI AsI AssI A s ss s s ss s s s?? ? ? ? ? ? ?????? ? ????? ? ? ????????? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ????解 (1) 首先求出矩陣指數(shù)函數(shù) eAt,其計(jì)算過(guò)程為 ? 例 試求如下狀態(tài)方程在初始狀態(tài) x0下的解 00 1 12 3 2? ? ? ?? ??? ? ? ???? ? ? ?x x x(3) 狀態(tài)方程的解為 20 24 e 3 e( ) e4 e 6 ettAtttt???????????????xx???????????????????????????????????????????????????ttttttttAtssssssssLAsIL2222111e2ee2e2eeee22211221221112112])[(e(2) 計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù) eAt。 ? 因此