【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間 ],[ ba 上的增量 . 注意 當(dāng) ba ? 時(shí)， )()()( aFbFdxxfba ??? 仍成立 . 求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題 . 例 1 求 .)1si nc o s2(20? ? ?? dxxx例 2 設(shè) , 求 . ????????215102)(xxxxf?20 )( dxxf原式 ? ? 20co ssi n2 ?xxx ??? .23 ???解 解 ? ?? ?? 10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf在 ]2,1[ 上規(guī)定當(dāng) 1?x 時(shí)， 5)( ?xf , ? ??? 10 21 52 dxxdx原式 .6? xyo 1 2例 3 求 .},m a x {2 2 2?? dxxx解 由圖形可知 },m ax {)( 2xxxf ?,21100222?????????????xxxxxx??? ???? ? 21 2100 2 2 dxxxdxdxx原式 .211?xyo2xy?xy?1 22?例 4 求 .112 dxx???解 當(dāng) 0?x 時(shí)， x1 的一個(gè)原函數(shù)是 ||ln x , dxx??? 12 1 ? ? 12||ln ??? x .2ln2ln1ln ????例 5 計(jì)算曲線(xiàn) xy s i n? 在 ],0[ ? 上與 x 軸所圍 成的平面圖形的面積 . xyo ?解 面積 ? ?? 0 s i n xdxA? ???? 0c o s ?例 6 設(shè) )( xf 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù)，且 0)( ?xf . 證明函數(shù)???xxdttfdtttfxF00)()()( 在),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 證 ? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf? ?x dttfdxd0 )( ),(xf?? ?2000)()()()()()(??? ???xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF? ? ,)()()()()( 200?? ???xxdttfdttftxxfxF)0(,0)( ?? xxf? ,0)(0? ?? x dttf,0)()( ?? tftx? ,0)()(0? ??? x dttftx).0(0)( ???? xxF故 )( xF 在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 例 7 設(shè) )( xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，且 1)( ?xf . 證明 1)(20 ?? ? dttfxx在 ]1,0[ 上只有一個(gè)解 . ,0)(2)( ????? xfxF,1)( ?xf?)( xF 在 ]1,0[ 上為單調(diào)增加函數(shù) . ,01)0( ???F??? 10 )(1)1( dttfF ? ?? 10 )](1[ dttf,0?所以 0)( ?xF 即原方程在 [0 ， 1] 上只有一個(gè)解 . 證 ,1)(2)( 0 ??? ? dttfxxF x令 例 8 求 .lim 21co s02xdtex tx? ??解 ? ?1c o s 2x t dtedxd ,c o s12? ??? x t dtedxd)( co s2c o s ???? ? xe x ,si n 2c o s xex ???21cos02lim x dtextx? ?? xex xx 2si nlim 2c o s0???? .21e?00分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則 . 定積分的換元法和分部積分法 一、定積分的換元法 二、定積分的分部積分法 定理 假設(shè) （ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)； （ 2 ）函數(shù) )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)； （ 3 ）當(dāng) t 在區(qū)間 ],[ ?? 上變化時(shí)， )( tx ?? 的值在 ],[ ba 上變化，且 a?)( ?? 、 b?)( ?? ， 則 有 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)( . 一、定積分的換元法 a?)( ?? 、 b?)( ?? , )()( ?? ??? )]([)]([ ???? FF ??),()( aFbF ??)()()( aFbFdxxfba ??? )()( ?? ????.)()]([ dtttf? ?? ?? ??注意 當(dāng) ?? ? 時(shí)，換元公式仍成立 . 應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意 : 求出 )()]([ ttf ?? ?的一個(gè)原函數(shù) )( t? 后，不必象計(jì)算不定積分那樣再要把 )( t? 變換成原變量 x的函數(shù)，而只要把新變量 t 的上、下限分別代入)( t? 然后相減就行了 . （ 2） （ 1） 用 )( tx ?? 把變量 x 換成新變量 t 時(shí)，積分限也 相應(yīng)的改變 . 例 1 計(jì)算 .s i nc o s205? ? xdxx令 2??x ,0?? t 0?x ,1?? t? ?20 5 s i nc o s xdxx??? 01 5 dtt1066t?.61?解 ,c os xt ? ,s i n xdxdt ??例 2 計(jì)算 .si nsi n053? ? ? dxxx解 xxxf 53 si nsi n)( ??? ? ? 23si nc o s xx?? ? ?? 0 53 s i ns i n dxxx ? ?? ?? 0 23s i nc o s dxx? ?? ?? 20 23s i nc o s dxxx ? ?? ???223s i nc o s dxxx? ?? ?? 20 23 s i ns i n xdx ? ?? ???223 s i ns i n xdx? ? 2025s in52?? x ? ????225s in52 ?例 3 計(jì)算 .)ln1(ln43? ?e e xxx dx解 原式 ? ??43)ln1(ln)( l nee xxxd? ??43)ln1(ln)( l nee xxxd???432)ln(1ln2 ee xxd? ? 43)lna r c si n(2 e ex? .6??例 4 計(jì)算 ? ???a adxxax0 22 )0(.1ax ? ,2??? t 0?x ,0?? t解 令 ,s in tax ? ,c o s t dtadx ?原式 ????? 20 22 )s i n1(s i nc o s dttatata????20 c o ss i nc o s dtttt? ? ?????????? 20 c o ss i ns i nc o s121 dttttt? ? 20c o ss i nln21221 ?????? ??例 5 當(dāng) )( xf 在 ],[ aa? 上連續(xù)，且有 ① )( xf 為偶函數(shù)，則 ? ???aaadxxfdxxf0)(2)( ； ② )( xf 為奇函數(shù)，則 ???aadxxf 0)( . 證 ,)()()(00? ??? ? ??aaaa dxxfdxxfdxxf在 ? ?0 )(a dxxf 中令 tx ?? , ?? ?0 )(a dxxf ? ??? 0 )(a dttf ,)(0? ?a dttf① )( xf 為偶函數(shù)，則 ),()( tftf ??? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(。)(2 0?? a dttf② )( xf 為奇函數(shù)，則 ),()( tftf ???? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()( .0?例 6 若 )( xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，證明 （ 1 ）?????2200)( c o s)( s i n dxxfdxxf 。 （ 2 ）???? ??00)( s i n2)( s i n dxxfdxxxf . 由此計(jì)算???02c o s1s i ndxxxx. 證 （ 1）設(shè) tx ??? 2 ,dtdx ???0?x ,2??? t 2??x ,0?? t? ?20 )( s in dxxf ?? ?????? ?????? ???? 02 2s i n dttf? ?? 20 )( c o s dttf 。)( c o s20? ?? dxxftx ??? ,dtdx ???0?x ,??? t ??x ,0?? t? ?0 )(sin dxxxf ?? ?????? 0 )][ s i n ()( dttft,)( s i n)(0? ? ??? dttft? ??? 0 )( s i n dxxf ,)( s i n0? ?? dxxxf.)( s i n2)( s i n 00 ?? ?? ??? dxxfdxxxf? ? ?0 2c o s1 s i n dxxxx ? ? ??? 0 2c o s1 s i n2 dxxx? ? ???? 0 2 )( c o sc o s1 12 xdx? ????? 0)ar c t an( c o s2 x.42?? )44(2 ???????? ??? 0 )( s i n dttf ? ?? 0 )(sin dtttf? ?0 )(sin dxxxf設(shè)函數(shù) )( xu 、 )( xv 在區(qū)間 ? ?ba , 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有? ? ??