【導讀】x軸與兩條直線ax?為高的小矩形面積為為底，以)(],[1iiifxx??設某物體作直線運動，已知速度)(tvv?上t的一個連續(xù)函數，且0)(?體在這段時間內所經過的路程.不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，i，在各小區(qū)間上任取。積分值僅與被積函數及積分區(qū)間有關，定義中區(qū)間的分法和i?而與積分變量的字母無關.稱)(xf在區(qū)間],[ba上可積.baAdxxf)(曲邊梯形的面積。例1利用定義計算定積分.102dxx?解在]2,1[中插入分點12,,,?

　　

【正文】 dxx? x y o )( xfy ?例 6 連接坐標原點 O 及點 ),( rhP 的直線、直線 hx ? 及x 軸圍成一個直角三角形．將它繞 x 軸旋轉構成一個底半徑為 r 、高為 h 的圓錐體，計算圓錐體的體積． 取積分變量為 x ， ],0[ hx ?在 ],0[ h 上任取小區(qū)間 ],[ dxxx ? ， yrhPxo解 xhry ?直線 OP的方程為 以 dx 為底的窄邊梯形繞 x 軸旋轉而成的薄片的體積為 dxxhrdV2????????圓錐體的體積 dxxhrV h20 ???????? ?hxhr03223 ???????? .32hr??a? aoyx例 7 求星形線 323232ayx ?? )0( ?a 繞 x 軸旋轉 構成旋轉體的體積 . 解 ,323232 xay ??? 332322???????? ??? xay],[ aax ??旋轉體的體積 dxxaVaa33232??????????? ?? .1 0532 3a??類似地，如果旋轉體是由連續(xù)曲線 )( yx ?? 、直線 cy ? 、 dy ? 及 y 軸所圍成的曲邊梯形繞 y軸旋轉一周而成的立體，體積為 dyy 2)]([?? ?? dcV例 8 求擺線 )s i n( ttax ?? ， )c o s1( tay ?? 的一拱與 0?y 所圍成的圖形分別繞 x 軸 、 y 軸旋轉構成旋轉體的體積 . 解 繞 x 軸旋轉的旋轉體體積 dxxyV ax )(220? ? ??? ? ????? 20 22 )c o s1()c o s1( dttata? ? ????? 20 323 )c o sc o s3c o s31( dtttta .5 32 a??繞 y 軸旋轉的旋轉體體積 可看作平面圖 OA B C 與 OB C 分別繞 y 軸旋轉構成旋轉體的體積之差 . oyxa?2 ABCa2 )(2 yxx ?)(1 yxx ?dtyxV ay )(220 2? ?? dtyxa )(220 1? ??? ?? ???? 2 22 s i n)s i n( t d tatta? ? ???? 0 22 s i n)s i n( t d tatta? ? ??? 20 23 s i n)s i n( t d ttta .6 33 a??補充 如果旋轉體是由連續(xù)曲線 )( xfy ? 、 直線ax ? 、 bx ? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉一周而成的立體，體積為 dxxfxV bay |)(|2 ???利用這個公式，可知上例中 dxxfxV ay |)(|2 20? ???? ? ?????? 20 )]s i n([)c o s1()s i n(2 ttadtatta? ? ???? 20 23 )c o s1)(s i n(2 dtttta .6 33 a??平行截面面積為已知的立體的體積 如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算 . xo a bx dxx?)( xA 表示過點x 且垂直于 x 軸的截面面積 ， )( xA 為 x 的已知連續(xù)函數 ,)( dxxAdV ? .)(?? ba dxxAV立體體積 例 9 一平面經過半徑為 R 的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角 ? ，計算這平面截圓柱體所得立體的體積 . RR?xyo解 ?取坐標系如圖 底圓方程為 222 Ryx ??垂直于 x 軸的截面為直角三角形 x截面面積 ,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??立體體積 dxxRV RR ?t a n)(21 22 ?? ?? .t a n32 3 ?R?例 10 求以半徑為 R 的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為 h 的正劈錐體的體積 . 解 取坐標系如圖 底圓方程為 ,222 Ryx ?? xyo Rx垂直于 x 軸的截面為等腰三角形 截面面積 22)( xRhyhxA ????立體體積 dxxRhV RR?? ??22.21 2 hR??xoy0MA?nMB?1M2M 1?nM設 A 、 B 是曲線弧上的兩 個端點，在弧上插入分點 BMMMMMAnni??? ,,110??并依次連接相鄰分點得一內接折線，當分點的數目無限增加且每個小弧段都縮向一點時， 此折線的長 ||11???niii MM 的極限存在，則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長 . 三、平面曲線弧長的概念 曲線弧為 ,)()(?????tytx?? )( ?? ?? t其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導數 . 22 )()( dydxds ?? 222 ))](()([ dttt ?? ????dttt )()( 22 ?? ????弧長 .)()( 22 dttts ? ???? ?? ??參數方程 例 11 求星形線 323232ayx ?? )0( ?a 的全長 . 解 星形線的參數方程為 ?????taytax33si nc o s)20( ??? t根據對稱性 14ss ?? ? ? ? dtyx? ? ???? 20224 dttta??? 20c oss i n34.6a?第一象限部分的弧長 例 1 2 證明正弦線 xay s i n? )20( ??? x 的弧長等于橢圓??????taytxsi n1c o s2 )20( ??? t 的周長 . 證 設正弦線的弧長等于 1s dxys ? ? ??? 20 21 1 dxxa? ? ?? 20 22 c o s1設橢圓的周長為 2s ,c o s12 0 22 dxxa? ? ??? ? ? ? ,20 222 dtyxs ? ? ????根據橢圓的對稱性知 ? ? ? ?? ? dttats ? ? ??? 0 2222 c o s1s i n2dxxa? ? ?? 0 22 c o s12 ,1s?故原結論成立 . dtta? ? ?? 0 22 c o s12設曲線弧為 )( xfy ? )( bxa ?? ，其中 )( xf 在],[ ba 上有一階連續(xù)導數 xoya bx dxx?取積分變量為 x ，在 ],[ ba 上任取小區(qū)間 ],[ dxxx ? ， 以對應小切線段的長代替小弧段的長 ? dy小切線段的長 22 )()( dydx ? dxy 21 ???弧長元素 dxyds 21 ??? 弧長 .1 2 dxys ba? ???直角坐標方程 例 1 3 計算曲線 2332xy ? 上相應于 x 從 a 到 b 的一段弧的長度 . 解 ,21xy ???dxxds 2)(1 21??? ,dxx??所求弧長為 dxxs ba? ?? 1 ].)1()1[(32 2323 ab ????a b例 1 4 計算曲線 ?? dny nx?? 0 s i n的弧長 )0( ??? nx . 解 nnxny 1si n ??? ,sin nx?dxys ba? ??? 21 dxnxn? ? ?? 0 s i n1ntx ? n d tt ??? ?0 s i n1dtttttn ? ? ???????????????0222c o s2s i n22c o s2s i ndtttn ? ? ?????? ?? 0 2c o s2s i ?曲線弧為 )( ??? ??)(?rr ?其中 )(?? 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導數 . ?????????si n)(c o s)(ryrx?)( ??? ??22 )()( dydxds ??? ,)()( 22 ??? drr ??弧長 .)()( 22 ????? drrs ? ???極坐標方程 例 1 5 求極坐標系下曲線33si n ??????? ?ar的長 . )0( ?a解 ????? drrs ? ???? )()( 22313c o s3si n32?????????? ??ar? ,3c o s3s i n 2 ?? ???????? a.23 a?????? daa242623c o s3s i n3s i n ???????????????????? ?? 30?? d23s in ??????? ?? 30a?? ?0( )3?例 1 6 求阿基米德螺線 ?ar ? )0( ?a 上相應于 ? 從0 到 ?2 的弧長 . 解 ,ar ???????? drrs ? ???? )()( 22? ?.)412l n(4122 22 ????????? a? ?? 20 ?? daa 222 ? ? ?? 20a ?? d12 ??ar ?例 17 計算擺線 ???????)c os1()s i n(???ayax的一拱 的長度 . ? ??? 20 ??解 弧長元素為 ???????dadadaads2s i n2)c o s1(2s i n)c o s1(2222??????從而，所求弧長 aadas 82c os222s i n22020 ??????? ??? ? ?? ???