數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(編輯修改稿)
2025-07-27 21:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 前n項(xiàng)和Sn＝an；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.解：(1)由題意得，當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝n，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.又a1＝2＝＋1，適合上式，因此an＝＋1.(2)由題設(shè)知，a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1.∴＝.∴＝，…，＝，＝，＝3.以上n－1個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘，得到＝.又∵a1＝1，∴an＝.(3)解法一：(累乘法)an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，∴＝3，＝3，＝3，…，＝3.將這些等式兩邊分別相乘得＝3n.∵a1＝1，∴＝3n，即an＋1＝23n－1(n≥1)，∴an＝23n－1－1(n≥2)，又a1＝1也適合上式，故數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝23n－1－1.解法二：(迭代法)an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝23n(n≥1)，∴an＝23n－1－1(n≥2)，又a1＝1也滿足上式，故數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝23n－1－1.變式3 寫出下面各遞推公式表示的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋；(2)a1＝1，an＋1＝2nan；(3)a1＝1，an＋1＝2an＋1.解：(1)∵當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝＝－，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.當(dāng)n＝1時(shí)，適合．故an＝3－.(2)∵＝2n，∴＝21，＝22，…，＝2n－1，將這n－1個(gè)等式疊乘，得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，∴an＝2.當(dāng)n＝1時(shí)，適合．故an＝2.(3)由題意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.類型四 數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)例題4 已知數(shù)列{an}，且an＝(n＋1)(n∈N*)．求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)．解：因?yàn)閍n＝(n＋1)是積冪形式的式子且an＞0，所以可用作商法比較an與an－1的大?。猓毫睢?(n≥2)，即≥1，整理得≥，解得n≤10.令≥1，即≥1，整理得≥，解得n≥9.∴從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增，從第10項(xiàng)起遞減．故a9＝a10＝最大．變式4 數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是( )A．3 B．1
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