高一數(shù)學(xué)數(shù)列的概念及其表示法(編輯修改稿)
2024-12-17 21:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 法 、 累乘法求解 ． 一般地 ， ① 若 an＋ 1＝ an＋ d(常數(shù) )， 則 {an}為等差數(shù)列； ② 若 an＋ 1＝ anq(q為常數(shù) )， 則 {an}為等比數(shù)列； ③ 若 an＋ 1＝ an＋ f(n)， 可用累加法；④ 若 an＋ 1＝ f(n)an， 可用累乘法； ⑤ 若 an＋ 1＝ pan＋ q， 可用待定系數(shù)法 ， 構(gòu)造等比數(shù)列求解 ． Sn與 an的關(guān)系及應(yīng)用 【 例 3】 已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn＝－ n2＋ 24n(n∈ N*)． 求 {an}的通項(xiàng)公式 ． 思路點(diǎn)撥： ∵ Sn＝ a1＋ a2＋ … ＋ an－ 1＋ an， ∴ an＝ Sn－ Sn－ 1(n≥2)且 n＝ 1時 ， a1＝ S1. 解： n＝ 1時 ， a1＝ S1＝ 23. n≥2時 ， an＝ Sn－ Sn－ 1 ＝－ n2＋ 24n＋ (n－ 1)2－ 24(n－ 1) ＝－ 2n＋ 25. 經(jīng)驗(yàn)證 ， a1＝ 23符合 an＝－ 2n＋ 25， ∴ an＝－ 2n＋ 25(n∈ N*)． S n 與 a n 的關(guān)系式為 a n ＝????? S 1 ， ? n ＝ 1 ?S n － S n － 1 ， ? n ≥ 2 ? 求解時，要分 n ＝ 1 和 n ≥ 2 兩種情況討論，然后驗(yàn)證兩種情況是否可以合并，若能，則用一個關(guān)系式表示，若不能，則用分段形式表示 ． 從函數(shù)角度認(rèn)識數(shù)列 【例 4 】 ( 2020 年高考遼寧卷 ) 已知數(shù) 列 { a n } 滿足 a 1 ＝ 33 ， a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n ， 則a nn 的最小值為 ___ _ ___ _ ． 思路點(diǎn)撥： 先由 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n 運(yùn)用累加法求出 a n ，進(jìn)而寫出 a nn ，可根據(jù)其單調(diào)性求其最小值 ． 解析： 由 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n 得， a 2 － a 1 ＝ 2 ， a 3 － a 2 ＝ 4 ， a 4 － a 3 ＝ 6 ， ? ， a n － a n － 1 ＝ 2 ( n － 1 )( n ≥ 2 ) ，將這 n － 1 個式子累加得 a n － a 1 ＝ 2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ ? ＋ ( 2 n － 2 ) ＝2 ＋ ? 2 n － 2 ?2 ( n － 1 ) ＝ n2－ n . ∴ a n ＝ a 1 ＋ n2－ n ＝ n2－ n ＋ 33 ( n ≥ 2 ) ， a 1 ＝ 33 也適合上式， ∴ a n ＝ n2－ n ＋ 33. ∴a nn＝n2－ n ＋ 33n＝ n ＋33n－ 1 ， 由函數(shù)單調(diào)性可知當(dāng) n ＝ 6 時，a nn有最小值212. 答案：212 由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù) ， 所以在研究數(shù)列的項(xiàng) 、 最值 、 單調(diào)性 、 周期性 、 項(xiàng)的大小比較等問題時 ， 可以借助研究函數(shù)的方法進(jìn)行求解 ． 變式探究 41 ： ( 2020 年福建龍 巖一模 ) 已知數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng) a n ＝nanb ＋ c( a ， b ， c ∈ ( 0 ，＋∞ )) ， 則 a n 與 a n ＋ 1 的大小關(guān)系是 ( ) ( A ) a n a n ＋ 1 ( B ) a n ＜ a n ＋ 1 ( C ) a n ＝ a n ＋ 1 ( D ) 不能確定 解析： a n ＝nanb ＋ c＝ab ＋cn， ∵ y ＝cn是減函數(shù)， ∴ a n ＝ab ＋cn為增函數(shù)， ∴ { a n } 為遞增數(shù)列，因此 a n ＜ a n ＋ 1 ，故選 B. 【 例 1】 (2020年高考陜西卷 )對于數(shù)列 {an}， “ an＋ 1|an|(n＝ 1,2,3， … )”是 “ {an}為遞增數(shù)列 ” 的 ( ) (A)必要不充分條件 (B)充分不必要條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件 解析： 由 an＋ 1|an|可得 ， an＋ 1an， ∴ {an}為遞增數(shù)列 ， ∴ “ an＋ 1|an|(n＝ 1,2,3， … )”是 “ {an}為遞增數(shù)列 ” 的充分條件 ． 若 {an}為遞增數(shù)列 ， 不一定有 an＋ 1|an|， 如－ 3， － 2， － 1,0,1， … ∴ “an＋ 1|an|(n＝ 1,2,3， … )”不是 “ {an}為遞增數(shù)列 ” 的必要條件 ， 故選 B. 【 例 2】 (2020年高考湖南卷 )若數(shù)列 {an}滿足：對任意的 n∈ N*， 只有有限個正整數(shù) m使得 am＜ n成立 ， 記這樣的 m的個數(shù)為 (an)*， 則得到一個新數(shù)列 {(an)*}． 例如 ， 若數(shù)列{an}是 1,2,3， … ， n， … ， 則數(shù)列 {(an)*}是 0,1,2， … ， n－ 1， … .已知對任意的 n∈ N*，an＝ n2， 則 (a5)*＝ ________.((an)*)*＝ ________. 解析： ∵ {an}是 12,22,32,42
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