第11講空間中的垂直關系(編輯修改稿)
2025-07-26 16:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中點，求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。分析：（1）證明DE ＝DA ，可以通過圖形分割，證明△DEF ≌△DBA。（2）證明面面垂直的關鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中點N ，連結MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM ⊥平面ECA。證明：（1）如圖，取EC 中點F ，連結DF?！? EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC ?！? DB ⊥AB ，EC ⊥BC?！? BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，則四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。（2）取AC 中點N ，連結MN 、NB ，∵ M 是EA 的中點，∴ MN EC。由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中點，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA ⊥平面BDM。（3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，∴ 平面DEA ⊥平面ECA。點評：面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決。例6．（2003京春理，19）如圖所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長為2，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，EF∩BD=G。（Ⅰ）求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求點D1到平面B1EF的距離d；（Ⅲ）求三棱錐B1—EFD1的體積V。（Ⅰ）證法一：連接AC?！哒睦庵鵄BCD—A1B1C1D1的底面是正方形。∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1∴平面B1EF⊥平面BDD1B1。證法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45176。，∴EF⊥BD.∴平面B1EF⊥平面BDD1B1。（Ⅱ）解：在對角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足為H∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，∴D1H⊥平面B1EF，且垂足為H，∴點D1到平面B1EF的距離d=D1H。解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H，∵D1B1=A1B1=4，sinD1B1H=sinB1GB=，∴d=D1H=4圖解法二：∵△D1HB∽△B1BG，∴∴d=D1H=。解法三：如圖所示，連接D1G，D1H=BB12?！郿=。（Ⅲ）d.點評：本題比較全面地考查了空間點、線、。并進行一定的邏輯推理，在研究本題時，要注意摘出平面圖形，便于計算。題型4：射影問題例7．（1）如圖，正方形所在平面，過作與垂直的平面分別交、于、K、求證：、分別是點在直線和上的射影．證明：∵ 面，∴ ， ∵ 為正方形，∴ ，∵ 與相交，∴ 面，面，∴ ．由已知面，且面，∴ ，∵ ，∴ 面，面，∴ ，即 為點在直線上的射影，同理可證得為點在直線上的射影。點評：
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