第1講向量的概念及運(yùn)算(編輯修改稿)
2025-07-26 16:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 y2），∴（x1－x2）2+（y1－y2）2=4.∴x12－2x1x2+x22+y12－2y1y2+y22=4.∴1－2x1x2－2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1.∴（x1+x2）2+（y1+y2）2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.∴|a+b|=.解法二：∵|a+b|2+|a－b|2=2（|a|2+|b|2），∴|a+b|2=2（|a|2+|b|2）－|a－b|2=2（1+4）－22=6.∴|a+b|=.故選D.深化拓展此題也可以利用“解斜三角形”的方法進(jìn)行處理.【例2】 如圖，G是△ABC的重心，求證：++=0.剖析：要證++=0，只需證+=－，即只需證+與互為相反的向量.證明：以向量、為鄰邊作平行四邊形GBEC，則+==△ABC的重心知=2，從而=－2.∴++=－2+2=0.評(píng)述：，能進(jìn)一步加深對(duì)“向量”的認(rèn)識(shí)，并能體會(huì)用向量處理問(wèn)題的優(yōu)越性.深化拓展此題也可用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明.【例3】 設(shè)、不共線，點(diǎn)P在AB上，求證：=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.剖析：∵點(diǎn)P在AB上，可知與共線，得=.證明：∵P在AB上，∴與共線.∴=t.∴－=t（－）.∴=+t－t=（1－t）+t.設(shè)1－t=λ，t=μ，則=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.評(píng)述：本例的重點(diǎn)是考查平面向量的基本定理，及對(duì)共線向量的理解及應(yīng)用.深化拓展①本題也可變?yōu)椋还簿€，若=λ+μ，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求證：A、B、P三點(diǎn)共線.提示：證明與共線.②當(dāng)λ=μ=時(shí)，=（+），此時(shí)P為AB的中點(diǎn)，這是向量的中點(diǎn)公式.【例4】 若a、b是兩個(gè)不共線的非零向量（t∈R）.（1）若a與b起點(diǎn)相同，t為何值時(shí)，a、tb、（a+b）三向量的終點(diǎn)在一直線上?（2）若|a|=|b|且a與b夾角為60176。，那么t為何值時(shí)，|a－tb|的值最小?解：（1）設(shè)a－tb=m［a－（a+b）］（m∈R），化簡(jiǎn)得（－1）a=（－t）b.∵a與b不共線，∴∴t=時(shí)，a、tb、（a+b）的終點(diǎn)在一直線上.（2）|a－tb|2=（a－tb）2=|a|2+t2|b|2－2t|a||b|cos60176。=（1+t2－t）|a|2，∴t=時(shí)，|a－tb|有最小值|a|.評(píng)述：用兩個(gè)向量共線的充要條件
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