第28講數(shù)列概念及等差數(shù)列(編輯修改稿)
2024-07-26 15:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 n=1,2,3,…）。證法二：令An = a n+1 a n，由b n≤b n+1知a n a n+2≤a n+1 a n+3。從而a n+1 a n≥a n+3 a n+2,即An≥An+2（n=1,2,3,…）由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 3 a n+3得c n+1c n=( a n+1 a n+2(a n+2 a n+1)+3(a n+3 a n+2)，即An+2An+1+3An+2=d2. ⑥由此得An+2+2An+3+3An+2=d2. ⑦⑥⑦得(AnAn+2)+2(An+1 An+3)+3(An+2 An+4)=0 ⑧因為AnAn+2≥0，An+1 An+3≥0，An+2 An+4≥0,所以由⑧得AnAn+2=0(n=1,2,3,…)。于是由⑥得4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, ⑨從而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 ⑩由⑨和⑩得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1= An ,即a n+2 a n+1= a n+1 a n(n=1,2,3,…)，所以數(shù)列{a n}是等差數(shù)列。點評：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時積累的方法巧妙應用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果。題型5：等差數(shù)列通項公式例9．（2006年全國卷I）設是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則（ ）A． B． C． D．解析：，將代入，得，從而。選B。點評：應用等差數(shù)列的通項公式將因式轉(zhuǎn)化為只含首項和公差的式子，變元減少，因式就容易處理了。例10．（1）（2005湖南16）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）證明解析：（1）（I）解：設等差數(shù)列的公差為d。由即d=1。所以即（II）證明因為，所以 點評：該題通過求通項公式，最終通過通項公式解釋復雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律。題型6：等差數(shù)列的前n項和公式例11．（1）（2002京皖春，11）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（ ） （2）（2001全國理，3）設數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ） （3）（2006年全國卷II）設Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項和，若＝，則＝（ ）A． B． C． D．解析：（1）答案：A設這個數(shù)列有n項∵ ∴∴n＝13（2）答案：B前三項和為12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4a1a2a3＝48，∵a2＝4，∴a1a3＝12，a1＋a3＝8，把a1，a3作為方程的兩根且a1＜a3，∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴選B.（3）答案為A；點評：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項和公式的運用和考生分析問題、解決問題的能力。例12．（1）（2000全國文，18）設｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列｛｝的前n項和，求Tn。（2）（1998全國文，25）已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.（Ⅰ）求數(shù)列｛bn｝的
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