第八篇第6講空間向量及其運算(編輯修改稿)
2026-01-13 14:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 MB→， MC→共面． (2)由 (1)知， MA→， MB→， MC→共面且基線過同一點 M， ∴ 四點 M， A， B， C共面，從而點 M在平面 ABC內(nèi)． 8． (13 分 )如右圖，在棱長為 a的正方體 ABCD A1B1C1D1中， G為 △ BC1D的重心， (1)試證： A G、 C三點共線； (2)試證： A1C⊥ 平面 BC1D； (3)求點 C到平面 BC1D的距離． (1)證明 CA1→＝ CB→＋ BA→＋ AA1→＝ CB→＋ CD→＋ CC1→， 可以證明： CG→＝ 13(CB→＋ CD→＋ CC1→)＝ 13CA1→， ∴ CG→∥ CA1→，即 A G、 C三點共線． (2)證明 設(shè) CB→＝ a， CD→＝ b， CC1→＝ c，則 |a|＝ |b|＝ |c|＝ a， 且 ab＝ bc＝ ca＝ 0， ∵ CA1→＝ a＋ b＋ c， BC1→＝ c－ a， ∴ CA1→BC1→＝ (a＋ b＋ c)(c－ a)＝ c2－ a2＝ 0， ∴CA1→⊥ BC1→，即 CA1⊥ BC1，同理可證： CA1⊥ BD，因此 A1C⊥ 平面 BC1D. (3)解 ∵ CA1→＝ a＋ b＋ c， ∴ CA1→2＝ a2＋ b2＋ c2＝ 3a2， 即 |CA1→|＝ 3a，因此 |CG→|＝ 33 a. 即 C到平面 BC1D的距離為 33 a. B 級 能力突破 (時間： 30 分鐘 滿分： 45 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 1． (2021海淀月考 )以下四個命題中正確的是 ( )． A．空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示 B．若 {a， b， c}為空間向量的一組基底，則 {a＋ b， b＋ c， c＋ a}構(gòu)成空間向 量的另一組基底 C． △ ABC為直角三角形的充要條件是 AB→AC→＝ 0 D．任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底 解析 若 a＋ b、 b＋ c、 c＋ a為共面向量，則 a＋ b＝ λ(b＋ c)＋ μ(c＋ a)， (1－ μ)a＝ (λ－ 1)b＋ (λ＋ μ)c， λ， μ不可能同時為 1，設(shè) μ≠ 1， 則 a＝ λ－ 11－ μb＋ λ＋ μ1－ μc，則 a、 b、
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