第五章第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算(編輯修改稿)
2024-12-30 12:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 BC ， AD ＝23 AB ? AE ＝23AC ＝23b ， BC ＝ AC － AB ＝ b － a . 由 △ A DE ∽△ A B C ，得 DE ＝23BC ＝23( b － a ) ． 又 AM 是 △ A BC 的中線， DE ∥ BC ， 得 DN ＝12DE ＝13( b － a ) ． 又 AM ＝12( AB ＋ AC ) ＝12( a ＋ b ) ． ?????△ ADN ∽△ ABM AD ＝23 AB ? AN ＝23AM ＝13( a ＋ b ) ． 解： CD ＝ AD － AC ＝ 23AB － AC ＝23a － b ， AM ＝12a ＋12b . ∴ AC ＝ AP ＋ PC ＝ AP － CP ＝ λ AM － μ CD 在例 2 題圖中， 連結(jié) C 、 D 交 AM 于 點 P ，若 AP ＝ λ AM ， CP ＝ μ CD ，求 λ 、 μ . ＝ λ (12a ＋12b ) － μ (23a － b ) ＝ (λ2－2 μ3) a ＋ (λ2＋ μ ) b . 又 AC ＝ b ， ∴????? λ2－2 μ3＝ 0 ，λ2＋ μ ＝ 1 ，解得????? λ ＝45，μ ＝35. 即 λ ＝45， μ ＝35. 已知任意平面四邊形 A BC D 中， E 、 F 分別是 AD 、 BC 的中點． 求證： EF ＝12( AB ＋ DC ) ． 證明：法一： 如圖所示，在四邊形 CDE F 中， EF ＋ FC ＋ CD ＋ DE ＝ 0. ① 在四邊形 AB F E 中， EF ＋ FB ＋ BE ＋ AE ＝ 0. ② ① ＋ ② 得 ( EF ＋ EF ) ＋ ( FC ＋ FB ) ＋ ( CD ＋ BA ) ＋ ( DE ＋ AE ) ＝ 0. ∵ E 、 F 分別是 AD 、 BC 的中點， ∴ FC ＋ FB ＝ 0 ， DE ＋ AE ＝ 0. ∴ 2 EF ＝－ CD － BA ＝ AB ＋ DC ， 即 EF ＝12( AB ＋ DC ) ． 法二 ： 取以 A 為起點的向量，應(yīng)用三角形法則求證． ∵ E 為 AD 的中點， ∴ AE ＝12AD . ∵ F 是 BC 的中點， ∴ AF ＝12( AB ＋ AC ) ． 又 AC ＝ AD ＋ DC ， ∴ AF ＝12( AB ＋ AD ＋ DC ) ＝12( AB ＋ DC ) ＋12AD . ∴ EF ＝ AF － AE ＝12( AB ＋ DC ) ． 考點三 共線向量定理的應(yīng)用 設(shè) e1， e2是兩個不共線向量，已知 AB ＝ 2 e1－ 8 e2， CB ＝ e 1 ＋ 3 e 2 ， CD ＝ 2 e 1 － e 2 . ( 1) 求證： A 、 B 、 D 三點共線． ( 2) 若 BF ＝ 3 e1－ ke2，且 B 、 D 、 F 三點共線，求 k 的值． [ 自主解答 ] ( 1) 證明：由已知 得 BD ＝ CD － CB ＝ (2 e 1 － e 2 ) － ( e 1 ＋ 3 e 2 ) ＝ e 1 － 4 e 2 ， ∵ AB ＝ 2 e1－ 8 e2， ∴ AB ＝ 2 BD ， ∴ A 、 B 、 D 三點共線． ( 2) 由 ( 1) 可知 BD ＝ e1－ 4 e2， 且 BF ＝ 3 e1－ ke2， 得 BF ＝ λ BD ， 即 3 e1－ ke2＝ λe1－ 4 λe2 得????? λ ＝ 3－ k ＝－ 4 λ，解得 k ＝ 12 ， ∴ k ＝ 12. 解： ∵ A 、 B 、 C 、 D 四點共線． ∴ A 、 B
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