第13講直線圓的方程(編輯修改稿)
2024-07-26 15:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 5，4），即。 又由已知有，即， 解方程組，得：或 故所求直線的方程為：，或。 即，或 點(diǎn)評(píng)：要求的方程，須先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三種： （1）從點(diǎn)的坐標(biāo)或中直接觀察出來(lái)； （2）由斜截式或截距式方程確定截距；（3）在其他形式的直線方程中，令得軸上的截距b；令得出x軸上的截距a?？傊?，在求直線方程時(shí)，設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算途徑比訓(xùn)練提高運(yùn)算能力更為重要。解題時(shí)善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。題型3：直線方程綜合問(wèn)題例5．（2003北京春理，12）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x=0，y=0，2x+3y=30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（ ）A．95 B．91 C．88 D．75答案：B解析一：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）轉(zhuǎn)化為求滿足不等式y(tǒng)≤10－x（0≤x≤15，x∈N）=0，y有11個(gè)整數(shù)，x=1，y有10個(gè)，x=2或x=3時(shí)，y分別有9個(gè)，x=4時(shí)，y有8個(gè)，x=5或6時(shí)，y分別有7個(gè)，類(lèi)推：x=13時(shí)y有2個(gè)，x=14或15時(shí)，y分別有1個(gè)。圖解析二：將x=0，y=0和2x+3y=。對(duì)角線上共有6個(gè)整點(diǎn)，矩形中（包括邊界）共有1611=△AOB內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)共有=91（個(gè)）點(diǎn)評(píng)：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過(guò)不等式解等知識(shí)探索解題途徑。例6．（2003京春理，22）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點(diǎn)C在l上。（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)。（i）問(wèn)：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由；（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。（Ⅰ）解法一，依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.圖解法二：設(shè)M（x，y），依題意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=?；?jiǎn)得：y2=4x。（Ⅱ）（i）由題意得，直線AB的方程為y=－（x－1）.由消y得3x2－10x+3=0，解得x1=，x2=3。所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－2），|AB|=x1+x2+2=。假設(shè)存在點(diǎn)C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即①②由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2，解得y=－。但y=－不符合①，所以由①，②組成的方程組無(wú)解。因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形。（ii）解法一：設(shè)C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，由得y=2，即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，故y≠2。又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=。當(dāng)∠CAB為鈍角時(shí)，cosA=0。即|BC|2 |AC|2+|AB|2，即，即y時(shí)，∠CAB為鈍角。當(dāng)|AC|2|BC|2+|AB|2，即，即y－時(shí)，∠CBA為鈍角。又|AB|2|AC|2+|BC|2，即，即。
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