jzoaaa第十一章-第3講-圓的方程(編輯修改稿)
2025-08-20 11:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2． (2022 年深中、廣雅、華附、省實(shí)四校聯(lián)考 )過圓 x2＋ y2＝ 4 外一點(diǎn) P(4,2)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A， B，則△ ABP 的外 接圓方程是 ( ) D A． (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 1 C． (x＋ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 5 B． x2＋ (y－ 2)2＝ 4 D． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 5 解析： 設(shè)圓心為 ( a, 0)( a 0) ，則 r ＝ | a ＋ 1 0|1 2 ＋ 1 2 ＝ 2 ，解得 a ＝－ 2. 2(x＋ 2)2＋ y2＝ 2 (1)— 的最大值和最小值； 考點(diǎn) 2 與圓有關(guān)的最值問題 例 2： 已知實(shí)數(shù) x， y 滿足方程 x2＋ y2－ 4x＋ 1＝ ： y x (2)y－ x 的最小值； (3)x2＋ y2 的最大值和最小 值． 圖 D18 解析： (1) 如圖 D18 ，方程 x2＋ y2－ 4 x ＋ 1 ＝ 0 表示以點(diǎn) (2, 0) 為圓心，以 3 為半徑的圓． 設(shè)yx＝ k ，即 y ＝ kx ，由圓心 (2,0) 到 y ＝ kx 的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、 最小值．由|2 k － 0|k2＋ 1＝ 3 ，解得 k2＝ 3. 所以 km a x＝ 3 ， km in＝－ 3 . ( 也可由平面幾何知識，有 OC ＝ 2 ， PC ＝ 3 ， ∠ P OC ＝ 60 176。 ，直線 OP 的傾斜角為 60 176。 ，直線 OP ′的傾斜角為 120176。 解之 ) (2) 設(shè) y － x ＝ b ，則 y ＝ x ＋ b ，僅當(dāng)直線 y ＝ x ＋ b 與圓切于 第四象限時(shí)，縱軸截距 b 取最小值．由點(diǎn)到直線的距離公式，得|2 － 0 ＋ b |2＝ 3 ，即 b ＝－ 2177。 6 ，故 ( y － x )m in＝－ 2 － 6 . (3) x2＋ y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方，故連接 OC ，與圓交于B 點(diǎn)，并延長交圓于 C ′， 則 ( x2＋ y2)m a x＝ | OC′|2＝ (2 ＋ 3 )2＝ 7 ＋ 4 3 ， ( x2＋ y2)m in＝ | OB |2＝ (2 － 3 )2＝ 7 － 4 3 . 方程 x2＋ y2－ 4 x ＋ 1 ＝ 0 表示以點(diǎn) ( 2, 0) 為圓心，以 3為半徑的圓 .yx的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率， y － x 可看作直線 y ＝ x ＋ b 在 y 軸上的截距， x2＋ y2是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，可借助平面幾何的知識，利用數(shù)形結(jié)合求解．涉及與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地： ① 形如 u ＝y(tǒng) － bx － a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題； ② 形如 t ＝ ax ＋ by 形式的最 值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題； ③ 形如??????x － a2＋??????y － b2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化圓心已定的動圓半徑的最值問題． 【 互動探究 】 3 ．
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