【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 項(xiàng)，與像素點(diǎn)的空間位置無關(guān)，相移量是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，它并不影響待測(cè)相位分布的相對(duì)大小；而背景項(xiàng)、調(diào)制項(xiàng)與待測(cè)相位在時(shí)間軸上是不變的，他們是像素點(diǎn)的函數(shù)。將公式(21)變換后可得 其中，是每一幅相移干涉圖的相對(duì)待測(cè)相位的大小，它是每幅干涉圖所對(duì)應(yīng)的相移量與待測(cè)相位之和。相移干涉圖每個(gè)像素點(diǎn)的光強(qiáng)是隨著相移量呈周期性的變化，如果在一個(gè)相移周期內(nèi)采集到足夠多的相移干涉圖，那么可以從時(shí)域變化的光強(qiáng)中逐像素點(diǎn)地確定出干涉圖中每一個(gè)像素點(diǎn)的光強(qiáng)最大值 和最小值，其值分別為 由公式(23)和(24)聯(lián)立可得 通過逐像素點(diǎn)計(jì)算，可以得出每個(gè)像素點(diǎn)上背景項(xiàng)a(x,y)與調(diào)制項(xiàng)b(x,y)，進(jìn)而可求得每一幅相移干涉圖的相對(duì)待測(cè)相位的大小 則第n幅干涉圖的相移量值可由下式計(jì)算得出 綜上所述，ACA算法提取相移量的步驟為：(1) 在干涉圖序列中，尋找每個(gè)像素點(diǎn)的光強(qiáng)最大值與最小值，計(jì)算出干涉圖的背景項(xiàng)與調(diào)制項(xiàng)。(2) 通過公式(27)計(jì)算得出每幅干涉圖的相對(duì)待測(cè)相位的大小，將所求相對(duì)相位分別與第一幅干涉圖的相位相減，計(jì)算出每幅干涉圖的相移量。 歐幾里德矩陣范數(shù)法相移干涉測(cè)量中，因相移器件引入了相移量，使得相移干涉圖之間存在著差異性，因此相移量與干涉圖之間的差異性存在某種聯(lián)系。由干涉圖的光強(qiáng)表達(dá)式(21)可知，當(dāng)相移量為2kπ rad時(shí)(k=0, 1, 2, 3…)，干涉圖之間的差異性最小，其光強(qiáng)相等，幾乎無法區(qū)分。當(dāng)相移量為(2k+1)π時(shí)，干涉圖之間的差異性最大。在數(shù)學(xué)上，用歐幾里德矩陣范數(shù)(Euclidean Matrix Norm，簡(jiǎn)稱EMN)來度量矩陣之間的差異性。而相移干涉圖的光強(qiáng)在CCD等探測(cè)器上是以像素點(diǎn)為單位的二維矩陣形式記錄的，所以歐幾里德矩陣范數(shù)也可以用來度量相移干涉圖之間的差異性。由于相移干涉圖之間的差異性與相移量有密切的關(guān)系。利用這種特性，可通過計(jì)算相移干涉圖之間的歐幾里德矩陣范數(shù)來提取相移量。下面介紹該算法提取相移量的原理。對(duì)于兩個(gè)M N階矩陣P、Q，其歐幾里德矩陣范數(shù)的定義為 在相移干涉測(cè)量中，第n幅干涉圖的光強(qiáng)可以表示為 將相移干涉圖序列中的第一幅干涉圖（δ1=0）作為參考對(duì)象，那么各相移干涉圖與第一幅干涉圖相減后得 其歐幾里德矩陣范數(shù)可表示為 其中M、N分別為干涉圖的行數(shù)和列數(shù)。當(dāng)干涉圖中的干涉條紋數(shù)大于1時(shí)，公式(210)中的三角函數(shù)周期也大于1，如下近似條件可以成立 結(jié)合近似條件，此時(shí)公式(212)可以簡(jiǎn)化為 通常我們認(rèn)為，在相移干涉圖序列中，b(x,y)在時(shí)域上是不變化的，因此上式中的第一項(xiàng)B為常數(shù)項(xiàng)。由此可知，相移干涉圖相減后得到的歐幾里德矩陣范數(shù)是關(guān)于相移量的函數(shù)，與sin(δn/2)成正比。當(dāng)δn=π時(shí)，dn取得最大值，且有dmax=B。由公式(214)可得，相移量可由反正弦函數(shù)計(jì)算得出 綜上所述，歐幾里德矩陣范數(shù)法(EMN)提取相移量的步驟為：(1) 分別計(jì)算第1幅相移干涉圖的光強(qiáng)矩陣與第n幅相移干涉圖的光強(qiáng)矩陣之間的歐幾里德矩陣范數(shù)；(2) 尋找出所得的歐幾里德矩陣范數(shù)中的最大值，再通過公式(215)提取相移干涉圖之間的相移量。 矩陣1范數(shù)法在上節(jié)我們知道，相移干涉圖之間的差異性與相移量存在一定的聯(lián)系。利用歐幾里德矩陣范數(shù)法提取相移干涉圖之間的相移量，這種方法簡(jiǎn)單快速，但只適用于干涉圖中有多個(gè)干涉條紋的情況；而一種基于矩陣1范數(shù)的相移量提取算法可適用于干涉圖中的條紋數(shù)少于一個(gè)的情況，又稱干涉圖范數(shù)法(Interferogram Norm，簡(jiǎn)稱IN)。下面介紹該算法提取相移量的原理。在數(shù)學(xué)上，對(duì)于一個(gè)MN階矩陣P，其矩陣1范數(shù)的定義為 同上一節(jié)，在相移干涉測(cè)量中，第n幅相移干涉圖的光強(qiáng)可以表示為 按照矩陣1范數(shù)的定義，第n幅相移干涉圖的矩陣1范數(shù)為： 其中， ， ，若令 則公式(218)可表示為 對(duì)于同一序列的相移干涉圖，A、B和Θn都是常數(shù)，可分別將他們稱為相移干涉圖的背景強(qiáng)度范數(shù)、調(diào)制振幅范數(shù)和相位范數(shù)。在一系列的干涉圖矩陣1范數(shù)中尋找其中的最大值與最小值，且有 由上面兩個(gè)公式聯(lián)立可得 由以上公式可知 因?yàn)橄嘁屏渴且粋€(gè)相對(duì)量，通常我們認(rèn)為，是一個(gè)常數(shù)，所以只要確定出A和B的值，就可以從公式(226)中計(jì)算出相位范數(shù)，進(jìn)而提取相移干涉圖之間相移量 綜上所述，矩陣1范數(shù)法(IN)提取相移量的步驟為：(1) 計(jì)算每幅相移干涉圖的矩陣1范數(shù)的值。(2) 尋找找出干涉圖矩陣1范數(shù)的最大值與最小值，計(jì)算出干涉圖的背景范數(shù)與調(diào)制幅度范數(shù)。(3) 通過公式(226)計(jì)算得出每幅干涉圖的相位范數(shù)，再通過公式(227)提取相移量。 本文提出的相移量提取算法不論是反余弦算法、歐幾里德矩陣范數(shù)法，還是矩陣1范數(shù)法，都需要采集多幅相移干涉圖才能進(jìn)行有效地提取相移量，在僅有兩幅干涉圖的情況下，這三種算法都無法進(jìn)行計(jì)算。本節(jié)提出一種基于干涉圖內(nèi)積之比的相移量提取算法(Ratio of Inner Products,簡(jiǎn)稱RIP)，該算法既可以提取多幅干涉圖的相移量，對(duì)相移量的范圍沒有特別的要求，且在只有兩幅干涉圖的情況下，也可以準(zhǔn)確計(jì)算相移量的值。下面介紹該算法提取相移量的原理。同上一節(jié)，在相移干涉測(cè)量中，第n幅相移干涉圖的強(qiáng)度可表示為： 一般來說，背景項(xiàng)a(x,y)是直流低頻信號(hào)，可以利用高斯高通濾波器將其濾除，濾除背景項(xiàng)的相移干涉圖可以表示為（為簡(jiǎn)單明了，省去了像素坐標(biāo)）： 以(=0)為參考對(duì)象，分別計(jì)算的內(nèi)積，可得 其中，M, N為干涉圖的行數(shù)與列數(shù)。符號(hào) 表示兩向量的內(nèi)積。當(dāng)干涉圖中的條紋數(shù)多于1個(gè)的時(shí)候，有以下近似條件： 結(jié)合公式(232)，可將公式(231) 簡(jiǎn)化為： 根據(jù)公式(230)、(233)，兩幅相移干涉圖之間的相移量可由反余弦函數(shù)求出： 綜上所述，基于內(nèi)積之比的算法(RIP)提取相移量的步驟為：(1) 使用高斯高通濾波器濾除相移干涉圖的背景項(xiàng)。(2) 分別計(jì)算濾波后的第n幅干涉圖與第一幅干涉圖的內(nèi)積。(3) 計(jì)算各內(nèi)積之間的比值，再通過反余弦函數(shù)提取每幅干涉圖的相移量。 相移量提取算法的比較 計(jì)算機(jī)模擬為了驗(yàn)證本文提出的相移量提取算法的速度和精度，并分析其相對(duì)于其他算法的優(yōu)缺點(diǎn)，本文根據(jù)相移干涉圖的光強(qiáng)表達(dá)式模擬了60幅相移干涉圖，尺寸為300300pixels，如圖21所示。模擬相移干涉圖的各參數(shù)設(shè)置為：背景項(xiàng)a(x,y)=120exp[(x2+y2)], 調(diào)制幅度b(x,y)=100exp[(x2+y2)], 待測(cè)相位 =4πexp[(x2+y2)], 第n幅相移干涉圖的相移量δn=(n1) rad，≤x,y≤ mm。并在模擬的干涉圖中加入了噪信比為5%的高斯加性噪聲。圖21 模擬圓條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels。圖22(a)為使用RIP算法提取模擬相移干涉圖的相移量，圖22(b)為所提取的相移量與預(yù)設(shè)標(biāo)準(zhǔn)值之間的差值。從圖中可以看到，所提取的相移量整體誤差很小，但在真實(shí)相移量為π rad附近的區(qū)域，誤差比較大。造成這較大誤差的主要原因是：當(dāng)相移量為π rad時(shí)，近似條件公式不能得到滿足。圖22 RIP算法對(duì)模擬圓條紋相移干涉圖提取相移量的結(jié)果。(a)每幅干涉圖對(duì)應(yīng)的相移量；(b)所提取的相移量與模擬預(yù)設(shè)值之間的差值。此次模擬的干涉圖序列一共有60幅， rad。提取相移量時(shí)，分別選取不同數(shù)量的干涉圖進(jìn)行提取相移量的計(jì)算。當(dāng)選取60幅干涉圖， rad；當(dāng)選取序列中前40幅干涉圖， rad；當(dāng)選取序列中前20幅干涉圖， rad；當(dāng)選取序列中前10幅干涉圖， rad；最后選取相移量為0 rad和1 rad的兩幅干涉圖。表21為本章中所介紹的幾種相移量提取算法對(duì)不同數(shù)量的相移干涉圖進(jìn)行提取相移量所用的運(yùn)算時(shí)間和其均方根誤差對(duì)比。其中，均方根誤差為各算法所提取的相移量與模擬預(yù)設(shè)參考值的差值的均方根。從表21中可以看出，在速度方面，從快到慢依次為IN、EMN、RIP、ACA；在精度方面，要當(dāng)干涉圖數(shù)量較多，相移量范圍接近2π rad（60幅）時(shí)，其精度從大到小依次為ACA、IN、RIP、EMN。相移量范圍小于2π rad且大于π時(shí)（40幅），四種算法的均方根誤差都有所增加，其精度從大到小依次為RIP、EMN、ACA、IN。但當(dāng)相移量的范圍小于π rad時(shí)（20幅，10幅），RIP的均方根誤差減少，其他三種算法的均方根誤差增加。這是因?yàn)镽IP算法在π rad附近的誤差較大，相移量小于π rad時(shí)，計(jì)算均方根誤差時(shí)，避開了誤差較大的區(qū)域；而此時(shí)干涉圖序列的相移量范圍小于π rad，EMN算法無法準(zhǔn)確定位最大范數(shù)點(diǎn)，IN、ACA算法不能正確標(biāo)定其相應(yīng)范數(shù)最大最小值或單像素光強(qiáng)的最大最小值，使得其均方根誤差增大。當(dāng)僅有兩幅干涉圖時(shí)，僅RIP算法能準(zhǔn)確提取相移量，而其他三種算法均失效。表 21幾種算法對(duì)不同數(shù)量的模擬相移干涉圖進(jìn)行相移量提取的運(yùn)算時(shí)間及其均方根誤差對(duì)比Fringe pattern numberRIPINEMNACATime (s)604020102RMSE (rad)604020102保持其他模擬條件不變，本文通過改變待測(cè)相位的參數(shù)來改變干涉圖條紋的形貌，分別再模擬60幅直條紋干涉圖序列（相位設(shè)置為）與60幅復(fù)雜條紋干涉圖序列（相位設(shè)置為），分別如圖23和圖25所示。并使用RIP算法對(duì)兩組相移干涉圖進(jìn)行提取相移量，其結(jié)果分別如圖24和圖26所示， rad(直條紋) rad (復(fù)雜條紋)。圖23 模擬直條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels。圖24 RIP算法對(duì)模擬直條紋相移干涉圖提取相移量的結(jié)果。(a)每幅干涉圖對(duì)應(yīng)的相移量；(b)所提取的相移量與模擬預(yù)設(shè)值之間的差值。圖25 模擬復(fù)雜條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels， rad。圖26 RIP算法對(duì)模擬復(fù)雜條紋相移干涉圖提取相移量的結(jié)果。(a)每幅干涉圖對(duì)應(yīng)的相移量；(b)所提取的相移量與模擬預(yù)設(shè)值之間的差值。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果為了進(jìn)一步驗(yàn)證RIP算法及其他相移量提取算法在實(shí)際應(yīng)用中的速度、精度及穩(wěn)定性，本文采集了一系列的實(shí)驗(yàn)相移干涉圖并選取其中50幅，像素大小為512512 pixels，如圖27所示，并對(duì)其進(jìn)行提取相移量的計(jì)算，結(jié)果如圖28所示。從計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果中得知，當(dāng)干涉圖足夠多時(shí)，ACA算法的精度最高，因此在實(shí)驗(yàn)中，本文將ACA算法計(jì)算50幅干涉圖所提取的相移量作為相移量參考值。從圖24中可以看到，與模擬的結(jié)果相同，所提取的相移量整體誤差很小，但在相移量為π rad附近的區(qū)域，誤差比較大。圖27 實(shí)驗(yàn)采集的相移干涉圖序列，干涉圖大小為512512 pixels。圖28 RIP算法對(duì)實(shí)驗(yàn)相移干涉圖序列提取相移量的結(jié)果。(a)每幅實(shí)驗(yàn)干涉圖所對(duì)應(yīng)的相移量；(b)所提取的相移量與參考值之間的誤差。表22為本章節(jié)所介紹的幾種相移量提取算法對(duì)不同數(shù)量的實(shí)驗(yàn)相移干涉圖進(jìn)行提取相移量所用的運(yùn)算時(shí)間和其均方根誤差對(duì)比。其中，均方根誤差為各算法所提取的相移量與參考值（ACA算法所得）的差值的均方根。從表中可以看出，在速度方面，從快到慢依次為IN、EMN、RIP、ACA；在精度方面，當(dāng)干涉圖數(shù)量較多，相移量范圍接近2π rad（50幅）時(shí)，其精度從大到小依次為EMN、RIP、IN。相移量范圍小于2π且大于π rad時(shí)（40幅），四種相移量提取算法的均方根誤差都有所增加，其精度從大到小依次為IN、EMN、RIP。但當(dāng)相移量的范圍小于π rad時(shí)（20幅，10幅），RIP的均方根誤差減少，其他三種算法的均方根誤差增加。這是同樣是因?yàn)镽IP算法在π rad附近的誤差較大，相移量范圍小于π rad時(shí)，計(jì)算均方根誤差時(shí)，避開了誤差較大的區(qū)域；而EMN無法準(zhǔn)確定位最大范數(shù)點(diǎn)，IN算法不能正確標(biāo)定其相應(yīng)范數(shù)的最大最小值，使得其均方根誤差增大。當(dāng)僅有兩幅干涉圖時(shí)（第1幅和第10幅），僅RIP算法能準(zhǔn)確提取相移量，而其他兩種算法均失效。表 22 幾種算法對(duì)不同數(shù)量的實(shí)驗(yàn)相移干涉圖進(jìn)行相移量提取的運(yùn)算時(shí)間及其均方根誤差對(duì)比Interferogram numberRIPINEMNTime (s)504020102RMSE (rad)504020102通過對(duì)計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的總結(jié)和歸納，本文以各算法的速度、精度及其使用條件為依據(jù)，對(duì)這幾種方法進(jìn)行了評(píng)價(jià)，如表23所示。分析和評(píng)價(jià)結(jié)果為：RIP和EMN算法均只適用于干涉圖中有多個(gè)干涉條紋的情況，EMN算法精度高，但要求相移量的范圍應(yīng)大于π rad；RIP算法的精度次之，對(duì)相移量的范圍沒有特別的要求；IN算法適用于干涉圖條紋少于一個(gè)的情況，運(yùn)算速度最快，精度也很高；ACA算法精度最高，但其計(jì)算時(shí)間比較長(zhǎng)，且要求相移量的范圍應(yīng)為一個(gè)整周期。這些算法中，ACA、EMN、IN和RIP算法都比較適用于相移干涉圖較多的情況下提取相移量，但只有RIP算法適用于在僅有兩幅干涉圖的情況下提取相移量。表23 不同相移量提取算法的精度、運(yùn)算速度和使用條件對(duì)比算法精度運(yùn)算速度使用條件RIP較