【正文】 中的兩步相移算法研究 28 兩步相移算法概述 28 現(xiàn)有的兩步相移算法 28 施密特正交化算法 28 相關(guān)系數(shù)算法 30 干涉極值法 31 本文提出的兩步相移算法 33 33 34 不同兩步相移算法的比較與分析 35 計(jì)算機(jī)模擬 35 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論 37第五章 影響兩步相移算法精度的因素分析 41 現(xiàn)有的濾除干涉圖背景項(xiàng)的方法 41. 高斯高通濾波法 41. 時(shí)域平均法 41. 逐點(diǎn)遍歷法 42. 差分法 42 各濾波方法的對(duì)比 43 相移量的取值范圍 44第六章 相位解包裹算法的研究 46 相位解包裹算法簡(jiǎn)介 46 現(xiàn)有的相位解包裹算法 46 行列逐點(diǎn)算法 46 枝切法 47 最小二乘算法 47 不同解包裹算法的比較與分析 48 計(jì)算機(jī)模擬 48 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論 51第七章 總結(jié)與展望 54 全文總結(jié) 54 展望 55參考文獻(xiàn) 57致 謝 62附 錄 63相移干涉測(cè)量中的相移相位提取算法及解包裹算法研究第一章 引言 相移干涉測(cè)量技術(shù)概述光學(xué)干涉測(cè)量技術(shù)是利用光的波動(dòng)性和干涉原理，將待測(cè)物體的三維形貌信息以干涉條紋和光學(xué)強(qiáng)度的形式記錄下來(lái)，通過(guò)對(duì)干涉條紋和光強(qiáng)的分析得到待測(cè)物體的相位，進(jìn)而重構(gòu)物體的三維形貌[1]。光學(xué)干涉測(cè)量具有非介入、非接觸、非干預(yù)、非掃描、快速、全場(chǎng)、三維成像等特點(diǎn)，既可以利用物體的反射光進(jìn)行測(cè)量，也可以利用物體的透射光進(jìn)行測(cè)量，不僅測(cè)量精度高，可以達(dá)到橫向亞微米、縱向亞納米量級(jí)的高分辨率[2, 3]，而且光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低，因此在表面形貌測(cè)量領(lǐng)域受到了研究者們的極大關(guān)注，并得到了迅速的發(fā)展。相移干涉測(cè)量技術(shù)(PhaseShifting Interferometry，簡(jiǎn)稱(chēng)PSI)是光學(xué)干涉測(cè)量中的重要技術(shù)[4]，其測(cè)量的基本原理是：在光學(xué)系統(tǒng)的參考光路中加入相移器件（如壓電陶瓷微位移器(PZT)、半波片、1/4波片、偏振片或衍射光柵等），使其有序地改變參考光波和物光波之間的光程差，即產(chǎn)生了相移。用CCD等探測(cè)器件采集的相移干涉圖，每個(gè)像素點(diǎn)的光強(qiáng)值隨相移的變化而變化。因?yàn)楦缮鏃l紋的光強(qiáng)是關(guān)于待測(cè)物體相位的余弦函數(shù)，與物體表面形貌相關(guān)，通過(guò)對(duì)相移干涉圖進(jìn)行分析和解調(diào)制，即可求解出待測(cè)物體的包裹相位信息，再通過(guò)相位解包裹算法得到連續(xù)的相位信息，從而重構(gòu)待測(cè)物體的表面輪廓或三維形貌。根據(jù)移相方法的不同，可以將相移干涉測(cè)量主要分為：時(shí)域相移法[57]，空域相移法[810]和空間載頻相移法[1113]等。時(shí)域相移法是指：在時(shí)間軸上產(chǎn)生相移,按一定的順序在不同的時(shí)刻采樣相移干涉圖的方法。該類(lèi)方法具有一定程度的抗噪能力，但要求待測(cè)物體的形貌在測(cè)量期間不發(fā)生變化?？沼蛳嘁品ㄊ窃谕粫r(shí)刻但不同的空間位置采集多幅相移干涉圖。該方法可以用來(lái)測(cè)量動(dòng)態(tài)過(guò)程，但其測(cè)量系統(tǒng)比較復(fù)雜，精度方面也不如時(shí)域相移法高?？臻g載頻相移法是采用兩個(gè)窗函數(shù)卷積原干涉圖，從而產(chǎn)生多幅相移干涉圖，并使用時(shí)間相移法的公式進(jìn)行恢復(fù)相位。這種方法只需要一幅干涉條紋圖，但要求載波頻率很高，背景和待測(cè)相位要緩變，否則將產(chǎn)生較大誤差，并且這種方法的分辨率比較低。在以上各類(lèi)方法中，時(shí)域相移法是目前最常用、最有效、最可靠的方法，本文也是在時(shí)域相移干涉測(cè)量的領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行研究。隨著光電子學(xué)技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、激光技術(shù)、信號(hào)采集與處理技術(shù)和數(shù)字圖像處理技術(shù)的飛速發(fā)展，相移干涉測(cè)量技術(shù)作為一種高精度的光學(xué)檢測(cè)手段，得到了迅速的發(fā)展，在光學(xué)測(cè)量與檢測(cè)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，如散斑分析[14, 15]、數(shù)字全息[16, 17]、物體形變檢測(cè)[18, 19]、三維形貌測(cè)量[20, 21]等眾多領(lǐng)域。許多商用干涉儀和光學(xué)檢測(cè)儀器也都釆用了相移干涉測(cè)量技術(shù)。 相移干涉測(cè)量技術(shù)的發(fā)展及研究現(xiàn)狀Carr233。于1966年提出了相移干涉測(cè)量的主體想法和思路[22]。Bruning于1974年利用通訊信息理論中的同步檢波技術(shù)[23]，使相移干涉測(cè)量對(duì)光學(xué)元件的測(cè)量精度達(dá)到了1/100個(gè)波長(zhǎng)量級(jí)。此后，為了進(jìn)一步提高相移干涉測(cè)量的精度，國(guó)內(nèi)外的研究者們做了大量的研究工作[24]，歸納起來(lái)基本可以分為兩大類(lèi)：一是對(duì)硬件的研究，即優(yōu)化相移干涉測(cè)量的實(shí)驗(yàn)裝置和光學(xué)系統(tǒng)，使用更好的光學(xué)元件或設(shè)計(jì)更好的光學(xué)系統(tǒng)，降低因元件缺陷而帶來(lái)的測(cè)量誤差，盡量減少測(cè)量過(guò)程中的環(huán)境和其他因素的干擾[25]，或?qū)Ω蓴_造成的誤差進(jìn)行校正[26, 27]。例如變頻相移干涉技術(shù)，它通過(guò)改變光源的頻率來(lái)實(shí)現(xiàn)相位調(diào)制，能消除傳統(tǒng)硬件相移引起的非線(xiàn)性誤差，減少由環(huán)境變化引起的誤差[28]，但這種方法對(duì)光源的要求比較高。二是對(duì)相移量提取算法與相位恢復(fù)算法的研究，即設(shè)計(jì)對(duì)相移誤差不敏感或者抗噪能力強(qiáng)的算法[29]，提高所恢復(fù)的相移量與相位的精度。相移量提取算法和相位恢復(fù)算法的優(yōu)劣直接影響著相移干涉測(cè)量的精度，且與優(yōu)化硬件相比，成本較低，是目前研究的熱門(mén)領(lǐng)域。一般來(lái)說(shuō)，要恢復(fù)待測(cè)物體的相位信息，至少需要三幅相移干涉圖；為了減少環(huán)境噪聲和其它干擾對(duì)相位測(cè)量精度的影響，三步、四步、五步以及N步相移算法等被不斷提出[30]。然而，上述算法的使用條件是干涉圖之間的相移量為已知且為某些定值，在實(shí)際應(yīng)用中，如果相移量未知，或者受相移器件標(biāo)定誤差、機(jī)械振動(dòng)和空氣擾動(dòng)等因素的影響，導(dǎo)致實(shí)際相移量值偏離理論值，這些算法進(jìn)行相位恢復(fù)的精度會(huì)大大降低。因此，如何在相移量未知的情況下，快速并準(zhǔn)確地提取干涉圖之間相移量及恢復(fù)相位，一直是相移干涉測(cè)量研究和應(yīng)用中需要解決的重要問(wèn)題。提取干涉圖之間的相移量，可以用來(lái)測(cè)定微位移器的步進(jìn)或物體的整體平移距離，標(biāo)定相移器件的誤差和非線(xiàn)性，也可以為需要相移量已知的傳統(tǒng)相位恢復(fù)算法提供先決條件。為此，許多相移量提取算法已經(jīng)被提出[3137]。例如，Xu等通過(guò)尋找干涉圖序列中各個(gè)像素點(diǎn)的強(qiáng)度最大值與最小值，計(jì)算出干涉圖的直流項(xiàng)和調(diào)制項(xiàng)，再通過(guò)反余弦函數(shù)恢復(fù)待測(cè)相位并提取相移量 (ACA)[34]，但該算法需要逐個(gè)像素點(diǎn)來(lái)計(jì)算直流項(xiàng)與調(diào)制項(xiàng)，計(jì)算量大，比較耗時(shí)。鄧建等提出了一種基于歐幾里德矩陣范數(shù)的相移量提取算法[35]，速度快，精度高，但該算法要求干涉圖中的干涉條紋數(shù)多于一個(gè)，且干涉圖序列的相移量范圍不能小于π rad。針對(duì)干涉條紋數(shù)量問(wèn)題，鄧建等又提出了基于矩陣1范數(shù)的相移量提取算法[36]，該算法可以在條紋數(shù)少于一個(gè)的情況下提取相移量，計(jì)算量小，速度快，精度也很高?；謴?fù)待測(cè)物體的相位信息，可以用來(lái)重構(gòu)物體三維形貌，測(cè)量表面輪廓或形變，在這一方面，國(guó)內(nèi)外的研究人員也提出了很多的相位恢復(fù)算法[3843]。例如，Wang等基于最小二乘誤差估算，提出了一種改進(jìn)迭代算法 (AIA)[40, 41]，該算法通過(guò)在相移干涉圖之間迭代計(jì)算相移量和待測(cè)相位，直到迭代誤差收斂，所提取的相移量和恢復(fù)的待測(cè)相位的精度都比較高，但迭代計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，運(yùn)算速度慢。Vargas等提出基于主成分分析的算法 (PCA)[42, 43]，可以較快地提取相移量并恢復(fù)待測(cè)相位，但該算法需要通過(guò)時(shí)域平均的濾波方法濾除相移干涉圖的直流背景項(xiàng)，因此要求干涉圖之間的相移量是均勻分布在(0, 2π) rad范圍之內(nèi)。上述提取相移量和恢復(fù)相位的算法，都要求三幅或三幅以上干涉圖才能進(jìn)行有效的計(jì)算。近年來(lái)，為了降低環(huán)境和空氣擾動(dòng)對(duì)測(cè)量精度的影響，降低測(cè)量系統(tǒng)復(fù)雜性，以及減少提取相移量和恢復(fù)相位的計(jì)算量，提高運(yùn)算速度，許多兩步相移算法相繼而出[4454]。這類(lèi)算法僅需兩幅相移干涉圖就可以恢復(fù)待測(cè)相位或提取相移量，計(jì)算量小，速度快，精度也高。例如，Kreis等提出基于傅里葉變換的兩步相移算法(Kreis)，可通過(guò)傅里葉變換來(lái)計(jì)算待測(cè)相位[45]，但其恢復(fù)相位的精度受噪聲影響較大。Vargas等提出基于施密特正交化的兩步相移算法 (GS)[48]，該算法恢復(fù)相位的精度較高，計(jì)算速度也比較快。Muravsky等提出相關(guān)系數(shù)算法(CC)[49]，通過(guò)計(jì)算兩干涉圖向量之間的相關(guān)系數(shù)來(lái)提取相移量并進(jìn)一步恢復(fù)待測(cè)相位。但該文獻(xiàn)中作者通過(guò)分別記錄物光波和參考光波的光強(qiáng)的方式來(lái)濾除干涉圖的直流項(xiàng)，操作流程比較復(fù)雜。上述幾種兩步算法 (Kreis、GS、CC)都須在相移干涉圖的條紋數(shù)多于1個(gè)的情況下才能進(jìn)行有效的計(jì)算，為了解決這個(gè)問(wèn)題，鄧建等提出基于干涉極值的兩步相移算法 (EVI)[50]，由干涉強(qiáng)度極大值和極小值求解出兩幅干涉圖之間的相移量，再通過(guò)一個(gè)反正切函數(shù)恢復(fù)待測(cè)相位。該算法速度快，精度高，并且在干涉圖的條紋數(shù)少于1個(gè)的情況下，也能準(zhǔn)確地恢復(fù)待測(cè)相位并提取相移量。雖然這些兩步相移算法幾乎都需要預(yù)先濾除相移干涉圖中的背景項(xiàng)，通常利用高斯高通濾波的方法在頻域中濾除背景項(xiàng)[55, 56]，該濾波方法雖然比較簡(jiǎn)便，卻不能完全濾除干涉圖的直流背景項(xiàng)，這也是影響兩步相移算法所恢復(fù)的相位精度的重要原因之一。但因兩步相移算法要求的干涉圖數(shù)量少，計(jì)算量小，運(yùn)算速度快，所以其在相移測(cè)量技術(shù)中有特別的優(yōu)勢(shì)，應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。 由于各種相位恢復(fù)算法得到的結(jié)果都是包裹相位，只有對(duì)該結(jié)果進(jìn)行相位解包裹運(yùn)算，才能得到連續(xù)的相位，展示待測(cè)物體真實(shí)的三維形貌。因此相位解包裹算法也是相移干涉測(cè)量的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)。在這一方面，針對(duì)噪聲、欠采樣或其他因素的影響，國(guó)內(nèi)外的研究人員也提出了很多解包裹算法，大致可分為路徑跟蹤算法與路徑無(wú)關(guān)算法[57]，其中比較經(jīng)典的算法有：行列逐點(diǎn)算法[57]、枝切法[57, 58]、最小二乘算法[57, 59]和基于傅里葉變換的解包算法[6062]等。針對(duì)不同的情況，可以選擇較優(yōu)的解包裹算法進(jìn)行運(yùn)算。 本文的研究目的、內(nèi)容及創(chuàng)新點(diǎn)本文研究目的如下：在相移干涉測(cè)量中，提取相移干涉圖之間的相移量，以及從干涉圖中恢復(fù)待測(cè)相位并重構(gòu)物體的三維形貌，是實(shí)際應(yīng)用中極為有意義的問(wèn)題。因此，如何準(zhǔn)確并快速地提取相移量及恢復(fù)待測(cè)相位是相移干涉測(cè)量技術(shù)中的兩個(gè)重要研究?jī)?nèi)容。傳統(tǒng)的算法一般需要三幅及三幅以上的相移干涉圖才能準(zhǔn)確并有效地提取相移量或恢復(fù)待測(cè)相位，數(shù)據(jù)量大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)。兩步相移算法以其僅需兩幅干涉圖、數(shù)據(jù)量小、運(yùn)算速度快、精度較高等特點(diǎn)，在相移干涉測(cè)量中的優(yōu)勢(shì)越來(lái)越明顯。針對(duì)以上現(xiàn)狀的分析，本文介紹了一些傳統(tǒng)相移算法、迭代算法的原理及其優(yōu)缺點(diǎn)，在此基礎(chǔ)之上，引入兩步相移干涉測(cè)量，并著重對(duì)兩步相移干涉測(cè)量中的相移量提取算法和相位恢復(fù)算法進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究。本文的主要內(nèi)容安排如下：第一章對(duì)相移干涉測(cè)量技術(shù)的基本原理和發(fā)展歷程進(jìn)行了概述，闡述了其應(yīng)用于形貌測(cè)量的意義，介紹了目前已有的幾種相移量提取算法和相位恢復(fù)算法，對(duì)各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了簡(jiǎn)單比較，引入兩步相移干涉測(cè)量及其相關(guān)算法；并對(duì)本論文的研究目的、內(nèi)容以及主要工作與創(chuàng)新點(diǎn)進(jìn)行了說(shuō)明。第二章對(duì)相移量提取算法進(jìn)行了概述，分別介紹反余弦算法、歐幾里得矩陣范數(shù)法和矩陣1范數(shù)法這三種應(yīng)用于多幅干涉圖的相移量提取算法的基本原理，并提出一種既可應(yīng)用于多幅相移干涉圖，又可以應(yīng)用于兩幅相移干涉圖的相移量提取算法。通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方式將這四種相移量提取算法的性能進(jìn)行了比較，分析了其優(yōu)缺點(diǎn)及使用條件。第三章對(duì)多步相移恢復(fù)相位的算法進(jìn)行了概述，分別介紹了定步長(zhǎng)算法中的三步、四步、五步相移算法和非定步長(zhǎng)算法中的改進(jìn)迭代算法與主成分分析算法，闡述了各算法恢復(fù)待測(cè)相位的基本原理，并通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬分析了這幾種算法優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍。第四章對(duì)兩步相移恢復(fù)相位的算法進(jìn)行了概述，分別介紹了施密特正交化算法、相關(guān)系數(shù)算法和干涉極值法，闡述了這三種現(xiàn)有的兩步相移算法恢復(fù)相位的基本原理，并提出了改進(jìn)的施密特正交化算法和基于干涉圖內(nèi)積之比的兩步相移算法；通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方式，將幾種兩步相移算法的性能進(jìn)行了比較，并分析其優(yōu)缺點(diǎn)。第五章分析了影響兩步相移算法精度的兩個(gè)主要因素：濾除背景項(xiàng)的方法和相移量的取值范圍。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方式，對(duì)這些因素進(jìn)行了分析研究。第六章對(duì)幾種經(jīng)典的解包裹算法進(jìn)行了介紹，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方式，分析總結(jié)了各算法的優(yōu)缺點(diǎn)及其適用范圍。第七章對(duì)全文的主要內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)概括，分析了多步相移算法和兩步相移算法的優(yōu)缺點(diǎn)及尚未解決的技術(shù)難點(diǎn)，分析了解包裹算法的局限性；展望了相移干涉測(cè)量未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，指出了進(jìn)一步研究工作的方向和設(shè)想。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：1. 改進(jìn)了原有的施密特正交化兩步相移算法，在保持原算法高精度的同時(shí)，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，減少了運(yùn)算時(shí)間，提高了運(yùn)算速度。2. 提出了基于干涉圖內(nèi)積之比的兩步相移算法，既可用于準(zhǔn)確提取兩幅或多幅相移干涉圖之間的相移量，又可以快速恢復(fù)高精度的待測(cè)相位。第二章 相移干涉測(cè)量中的相移量提取算法研究 相移量提取算法概述相移量是相移干涉測(cè)量中的一個(gè)重要的物理參數(shù)，它代表著各相移干涉圖之間的差異性。相移量一般是由PZT、半波片或1/4波片、偏振片等相移器件引入的。在相移干涉測(cè)量過(guò)程中，由于相移器件和探測(cè)器的誤差以及外界環(huán)境擾動(dòng)等因素的影響，往往使得實(shí)際相移量與理論相移量存在一定的誤差。而相移量的精確程度與相移干涉測(cè)量的精度有很大關(guān)系，提取相移量也可以來(lái)標(biāo)定相移器件的性能，因此，快速并準(zhǔn)確地提取相移量的值是相移干涉測(cè)量領(lǐng)域中的一個(gè)重要的研究方向。近年來(lái)，許多從相移量未知的相移干涉圖中提取相移量的算法不斷被提出，本章介紹幾種常見(jiàn)的相移量提取算法，如反余弦算法(ACA)、歐幾里德矩陣范數(shù)法(EMN)。矩陣1范數(shù)法(IN)，提出一種新的相移量提取算法，并歸納分析了不同算法的優(yōu)缺點(diǎn)及使用條件。 現(xiàn)有的相移量提取算法 反余弦算法反余弦算法(Arccosine Algorithm，簡(jiǎn)稱(chēng)ACA)通過(guò)尋找干涉圖序列中各個(gè)像素點(diǎn)的強(qiáng)度最大值與最小值，計(jì)算出干涉圖的背景項(xiàng)和調(diào)制項(xiàng)，再通過(guò)反余弦函數(shù)恢復(fù)待測(cè)相位并提取相移量。下面介紹該算法提取相移量的原理。在相移干涉測(cè)量中，可以將第n幅相移干涉圖的每個(gè)像素點(diǎn)的光強(qiáng)表示為 其中，a(x,y)為干涉圖的背景項(xiàng)，它是一個(gè)直流低頻項(xiàng)；b(x,y)為干涉圖的調(diào)制項(xiàng)；為待測(cè)相位；為干涉圖對(duì)應(yīng)的相移量，且δ1=0；(x,y)為像素點(diǎn)的位置坐標(biāo)。通常認(rèn)為，對(duì)于一幅干涉圖來(lái)說(shuō)，其每個(gè)像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相移量的值是一個(gè)常數(shù)