【正文】 究第一章 引言 相移干涉測量技術(shù)概述光學(xué)干涉測量技術(shù)是利用光的波動性和干涉原理，將待測物體的三維形貌信息以干涉條紋和光學(xué)強(qiáng)度的形式記錄下來，通過對干涉條紋和光強(qiáng)的分析得到待測物體的相位，進(jìn)而重構(gòu)物體的三維形貌[1]。于1966年提出了相移干涉測量的主體想法和思路[22]。Vargas等提出基于主成分分析的算法 (PCA)[42, 43]，可以較快地提取相移量并恢復(fù)待測相位，但該算法需要通過時域平均的濾波方法濾除相移干涉圖的直流背景項(xiàng)，因此要求干涉圖之間的相移量是均勻分布在(0, 2π) rad范圍之內(nèi)。 本文的研究目的、內(nèi)容及創(chuàng)新點(diǎn)本文研究目的如下：在相移干涉測量中，提取相移干涉圖之間的相移量，以及從干涉圖中恢復(fù)待測相位并重構(gòu)物體的三維形貌，是實(shí)際應(yīng)用中極為有意義的問題。第二章 相移干涉測量中的相移量提取算法研究 相移量提取算法概述相移量是相移干涉測量中的一個重要的物理參數(shù)，它代表著各相移干涉圖之間的差異性。在數(shù)學(xué)上，用歐幾里德矩陣范數(shù)(Euclidean Matrix Norm，簡稱EMN)來度量矩陣之間的差異性。(3) 通過公式(226)計(jì)算得出每幅干涉圖的相位范數(shù)，再通過公式(227)提取相移量。圖22 RIP算法對模擬圓條紋相移干涉圖提取相移量的結(jié)果。(a)每幅干涉圖對應(yīng)的相移量；(b)所提取的相移量與模擬預(yù)設(shè)值之間的差值。當(dāng)僅有兩幅干涉圖時（第1幅和第10幅），僅RIP算法能準(zhǔn)確提取相移量，而其他兩種算法均失效。這三幅相移干涉圖的光強(qiáng)可以表示為： 聯(lián)立以上公式，可得 由上式可知，三步相移算法的待測相位求解公式為 四步相移算法在四步相移算法，需要采集四幅相移步進(jìn)為π/2 rad的相移干涉圖，每幅圖的光強(qiáng)表達(dá)公式為 聯(lián)立以上公式，可得 由上式可知，四步相移算法的待測相位求解公式為 五步相移算法在五步相移算法中，需要采集五幅相移步進(jìn)為π/2 rad的相移干涉圖，比四步相移算法多了一幅干涉圖，前四幅干涉圖與四步相移算法所需的四幅干涉圖相同，第五幅干涉圖的光強(qiáng)表達(dá)公式為： 聯(lián)立五個光強(qiáng)表達(dá)公式，可得 由上式可知，五步相移算法的待測相位求解公式為 非定步長相移算法對相移干涉圖之間的相移量沒有特定值的要求，對相移步進(jìn)的要求也不高，但也需要采集多幅干涉圖才能進(jìn)行計(jì)算。通過最小二乘誤差估計(jì)算法，可以解出公式(325)中的這些未知量。此時三步、四步、五步相移算法對相移量的定值要求可以得到充分的滿足。濾除背景項(xiàng)的干涉圖可表示為 其中。 本文提出的兩步相移算法由上述分析可知，去除背景直流項(xiàng)的兩幅相移干涉圖可以表示為 且相移量與待測相位的關(guān)系為 在原GS算法的基礎(chǔ)之上，本文提出了一種改進(jìn)的施密特正交化兩步相移算法(Improved GramSchmidt Orthonormalization,簡稱IGS)。 不同兩步相移算法的比較與分析 計(jì)算機(jī)模擬為了驗(yàn)證本文所改進(jìn)的施密特正交化算法(IGS)與所提出的內(nèi)積之比算法(RIP)的有效性與精度，本文根據(jù)相移干涉圖的光強(qiáng)表達(dá)式模擬了兩幅干涉圖，像素大小為512512pixels，如圖41所示。表41 不同算法對模擬干涉圖進(jìn)行相位恢復(fù)的運(yùn)算時間和均方根誤差對比RIPIGSGS EVICCAIATIME (s)RMSE (rad) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論為了進(jìn)一步驗(yàn)證RIP與IGS算法在實(shí)際應(yīng)用中的可行性，將其應(yīng)用到實(shí)驗(yàn)中所采集到的干涉圖。表42展示了四種兩步相移算法進(jìn)行相位恢復(fù)的運(yùn)算時間（不包括高斯高通濾波的運(yùn)算時間）及其恢復(fù)的相位與參考值(AIA算法所得)之間的差值的均方根 (RMSE)。一般來說，本文選擇濾波窗口大小是，在這個濾波窗口的取值范圍附近可以較高效率地濾除干涉圖的背景項(xiàng)。這兩幅差分圖像幾乎不包含相移干涉圖的背景項(xiàng)。(a)參考值(AIA)，(b)RIP算法恢復(fù)的相位，(c)IGS算法恢復(fù)的相位，(d)GS算法恢復(fù)的相位，(e)EVI算法恢復(fù)的相位，(f)CC算法恢復(fù)的相位。干涉圖由CCD采集記錄并傳輸?shù)接?jì)算機(jī)上。并將其結(jié)果與預(yù)設(shè)相位值(REF)進(jìn)行比較。通過上述的GS算法與IGS算法的原理分析可以看出：IGS算法是在施密特正交化的基礎(chǔ)上先提取相移量，再恢復(fù)待測相位。協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義分別為 其中、分別為X、Y的平均值。以此類推， rad， rad， rad，在不同相移量偏移情況下，計(jì)算定步長算法恢復(fù)相位的均方根誤差，結(jié)果如表32所示。同上一節(jié)，本文將第n幅相移干涉圖的光強(qiáng)可表示為： 因?yàn)镃CD等探測器采集到的每一幅干涉圖的光強(qiáng)都為一個二維向量組，為描述方便，本文將其重構(gòu)為一個一維的行向量組，重構(gòu)后的第n幅相移干涉圖可以表示為 每一幅重構(gòu)后的干涉圖光強(qiáng)是一個1K的行向量，K為每幅干涉圖的像素總數(shù)。同上一節(jié)，相移干涉測量中，第n幅相移干涉圖的光強(qiáng)可表示為： 為描述方便，本文將上式改寫為： 其中，k=1, 2,…, K, K為每幅干涉圖的像素總數(shù)。定步長相移算法要求使用到的N幅相移干涉圖之間的相移量是已知的，并且是某些定值（如π/π/3π/2 rad等）。從圖24中可以看到，與模擬的結(jié)果相同，所提取的相移量整體誤差很小，但在相移量為π rad附近的區(qū)域，誤差比較大。其中，均方根誤差為各算法所提取的相移量與模擬預(yù)設(shè)參考值的差值的均方根。當(dāng)干涉圖中的條紋數(shù)多于1個的時候，有以下近似條件： 結(jié)合公式(232)，可將公式(231) 簡化為： 根據(jù)公式(230)、(233)，兩幅相移干涉圖之間的相移量可由反余弦函數(shù)求出： 綜上所述，基于內(nèi)積之比的算法(RIP)提取相移量的步驟為：(1) 使用高斯高通濾波器濾除相移干涉圖的背景項(xiàng)。當(dāng)干涉圖中的干涉條紋數(shù)大于1時，公式(210)中的三角函數(shù)周期也大于1，如下近似條件可以成立 結(jié)合近似條件，此時公式(212)可以簡化為 通常我們認(rèn)為，在相移干涉圖序列中，b(x,y)在時域上是不變化的，因此上式中的第一項(xiàng)B為常數(shù)項(xiàng)。 現(xiàn)有的相移量提取算法 反余弦算法反余弦算法(Arccosine Algorithm，簡稱ACA)通過尋找干涉圖序列中各個像素點(diǎn)的強(qiáng)度最大值與最小值，計(jì)算出干涉圖的背景項(xiàng)和調(diào)制項(xiàng)，再通過反余弦函數(shù)恢復(fù)待測相位并提取相移量。第二章對相移量提取算法進(jìn)行了概述，分別介紹反余弦算法、歐幾里得矩陣范數(shù)法和矩陣1范數(shù)法這三種應(yīng)用于多幅干涉圖的相移量提取算法的基本原理，并提出一種既可應(yīng)用于多幅相移干涉圖，又可以應(yīng)用于兩幅相移干涉圖的相移量提取算法。Muravsky等提出相關(guān)系數(shù)算法(CC)[49]，通過計(jì)算兩干涉圖向量之間的相關(guān)系數(shù)來提取相移量并進(jìn)一步恢復(fù)待測相位。一般來說，要恢復(fù)待測物體的相位信息，至少需要三幅相移干涉圖；為了減少環(huán)境噪聲和其它干擾對相位測量精度的影響，三步、四步、五步以及N步相移算法等被不斷提出[30]。時域相移法是指：在時間軸上產(chǎn)生相移,按一定的順序在不同的時刻采樣相移干涉圖的方法。通過計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法，分析比較了所提出的新算法和各種現(xiàn)有算法的特點(diǎn)及其適用范圍，為相移干涉測量中的相移相位提取提供了新的方法和思路。2. 提出了基于內(nèi)積之比的兩步相移算法，可以快速并準(zhǔn)確地恢復(fù)待測相位。隨著光電子學(xué)技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、激光技術(shù)、信號采集與處理技術(shù)和數(shù)字圖像處理技術(shù)的飛速發(fā)展，相移干涉測量技術(shù)作為一種高精度的光學(xué)檢測手段，得到了迅速的發(fā)展，在光學(xué)測量與檢測領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，如散斑分析[14, 15]、數(shù)字全息[16, 17]、物體形變檢測[18, 19]、三維形貌測量[20, 21]等眾多領(lǐng)域。針對干涉條紋數(shù)量問題，鄧建等又提出了基于矩陣1范數(shù)的相移量提取算法[36]，該算法可以在條紋數(shù)少于一個的情況下提取相移量，計(jì)算量小，速度快，精度也很高。因此相位解包裹算法也是相移干涉測量的一個關(guān)鍵技術(shù)。第七章對全文的主要內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)概括，分析了多步相移算法和兩步相移算法的優(yōu)缺點(diǎn)及尚未解決的技術(shù)難點(diǎn)，分析了解包裹算法的局限性；展望了相移干涉測量未來的發(fā)展趨勢，指出了進(jìn)一步研究工作的方向和設(shè)想。 歐幾里德矩陣范數(shù)法相移干涉測量中，因相移器件引入了相移量，使得相移干涉圖之間存在著差異性，因此相移量與干涉圖之間的差異性存在某種聯(lián)系。在數(shù)學(xué)上，對于一個MN階矩陣P，其矩陣1范數(shù)的定義為 同上一節(jié)，在相移干涉測量中，第n幅相移干涉圖的光強(qiáng)可以表示為 按照矩陣1范數(shù)的定義，第n幅相移干涉圖的矩陣1范數(shù)為： 其中， ， ，若令 則公式(218)可表示為 對于同一序列的相移干涉圖，A、B和Θn都是常數(shù)，可分別將他們稱為相移干涉圖的背景強(qiáng)度范數(shù)、調(diào)制振幅范數(shù)和相位范數(shù)。圖22(a)為使用RIP算法提取模擬相移干涉圖的相移量，圖22(b)為所提取的相移量與預(yù)設(shè)標(biāo)準(zhǔn)值之間的差值。并使用RIP算法對兩組相移干涉圖進(jìn)行提取相移量，其結(jié)果分別如圖24和圖26所示， rad(直條紋) rad (復(fù)雜條紋)。相移量范圍小于2π且大于π rad時（40幅），四種相移量提取算法的均方根誤差都有所增加，其精度從大到小依次為IN、EMN、RIP。在定步長相移算法中，一般要求干涉圖之間的相移步進(jìn)為π/2 rad。即An1=An2=An3=…=AnK, Bn1=Bn2=Bn3=…=BnK 。矩陣A和F的特征值分別為 其相應(yīng)的特征向量分別為 因此，協(xié)方差矩陣C的秩為2，且有兩個特征向量，如果干涉圖的相移量均勻地分布在[0，2π]的范圍內(nèi)，可作如下近似 因此 在這種情況下，協(xié)方差矩陣的兩個特征值為其相應(yīng)的特征向量為。經(jīng)過濾波后的干涉圖可表示為（為簡單明了，省去了像素坐標(biāo)） 在線性代數(shù)中，施密特正交化(GramSchmidt Orthonormalization, 簡稱GS)是把一個線性無關(guān)的向量組轉(zhuǎn)化成一個單位正交向量組的方法。因?yàn)樵诟缮鏄O值（EVI）（極大值或極小值）處，待測物體在該像素點(diǎn)的的相位φEVI= 2mπ 或 (2m+1)π，因此，相移量可由下公式求得 在實(shí)際情況中，所采集到的干涉圖受到各種噪聲和調(diào)制幅度bk不均勻的影響，僅用一個干涉極值（極大值或極小值）計(jì)算相移量時，所得到的結(jié)果會存在較大誤差，作者使用多個干涉極值分別計(jì)算相移量并求其平均值來降低誤差。下面介紹該兩步相移算法恢復(fù)相位的原理。從表中可以得出，在精度方面，幾種兩步相移算法的均方根誤差相當(dāng)，而AIA算法的精度最高；在速度方面，RIP與IGS比其他幾種兩步相移算法的運(yùn)算時間少，而AIA算法的運(yùn)算時間最長。(ab) rad，為無物體時采集的干涉圖；(cd) rad，為有物體時采集的干涉圖。是相應(yīng)的高斯低通濾波器的傳遞函數(shù)。從表中我們可以得出：在運(yùn)算速度方面，由快到慢分別為差分法、高斯高通濾波法、時域平均法和逐點(diǎn)遍歷法；在精度方面，由高到低分別為逐點(diǎn)遍歷法、時域平均法、差分法和高斯高通濾波法。目前常見的濾除干涉圖背景項(xiàng)的方法有：高斯高通濾波法、時域平均法、逐點(diǎn)遍歷法和差分法（三步施密特正交化法[63]）。由模擬結(jié)果可知，AIA算法與本文中所述的幾種兩步相移算法相比，雖然其運(yùn)算時間最長，但在精度上卻比這幾種兩步相移算法的精度高出一個數(shù)量級，因此在本文實(shí)驗(yàn)中比較兩步相移算法的精度時，本文將AIA算法迭代計(jì)算50幅實(shí)驗(yàn)相移干涉圖所恢復(fù)的相位作為參考相位(REF)，如圖45(a)、圖46(a)所示。 rad的干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位，所恢復(fù)的相位如圖42(g)所示。因此，當(dāng)干涉圖尺寸較大或像素點(diǎn)較多時，IGS算法較之原GS算法所省去的計(jì)算量就越大，計(jì)算速度提升的效果越明顯。 干涉極值法由上述分析可知，在兩步相移干涉測量中，濾除背景項(xiàng)的兩幅相移干涉圖分別表示為 k為像素點(diǎn)的坐標(biāo)，且待測相位與相移量之間的關(guān)系為 只要確定相移量的值，就能夠由公式(431)恢復(fù)出待測相位。該測量過程中恢復(fù)待測相位所用到的算法，我們將其簡稱為兩步相移算法。因此，利用主成分分析方法可提取相移干涉圖中的兩個正交信號，進(jìn)而通過一個反正切函數(shù)來恢復(fù)待測相位。通過最小二乘誤差估計(jì)算法，可以求出公式(317)中的這些未知量。非定步長相移算法就更靈活了，它對相移量的值和相移步進(jìn)都沒有要求，即可以在相移量和相移步進(jìn)完全未知的情況下進(jìn)行計(jì)算。(a)每幅實(shí)驗(yàn)干涉圖所對應(yīng)的相移量；(b)所提取的相移量與參考值之間的誤差。但當(dāng)相移量的范圍小于π rad時（20幅，10幅），RIP的均方根誤差減少，其他三種算法的均方根誤差增加。 相移量提取算法的比較 計(jì)算機(jī)模擬為了驗(yàn)證本文提出的相移量提取算法的速度和精度，并分析其相對于其他算法的優(yōu)缺點(diǎn)，本文根據(jù)相移干涉圖的光強(qiáng)表達(dá)式模擬了60幅相移干涉圖，尺寸為300300pixels，如圖21所示。由公式(214)可得，相移量可由反正弦函數(shù)計(jì)算得出 綜上所述，歐幾里德矩陣范數(shù)法(EMN)提取相移量的步驟為：(1) 分別計(jì)算第1幅相移干涉圖的光強(qiáng)矩陣與第n幅相移干涉圖的光強(qiáng)矩陣之間的歐幾里德矩陣范數(shù)；(2) 尋找出所得的歐幾里德矩陣范數(shù)中的最大值，再通過公式(215)提取相移干涉圖之間的相移量。通常認(rèn)為，對于一幅干涉圖來說，其每個像素點(diǎn)對應(yīng)的相移量的值是一個常數(shù)項(xiàng)，與像素點(diǎn)的空間位置無關(guān)，相移量是關(guān)于時間的函數(shù)，它并不影響待測相位分布的相對大??；而背景項(xiàng)、調(diào)制項(xiàng)與待測相位在時間軸上是不變的，他們是像素點(diǎn)的函數(shù)。第四章對兩步相移恢復(fù)相位的算法進(jìn)行了概述，分別介紹了施密特正交化算法、相關(guān)系數(shù)算法和干涉極值法，闡述了這三種現(xiàn)有的兩步相移算法恢復(fù)相位