【正文】 兩步相移算法，可以快速并準(zhǔn)確地恢復(fù)待測(cè)相位。3. 介紹了幾種常見的濾除干涉圖背景項(xiàng)的方法和原理，并結(jié)合兩步相移算法分析了各方法的濾波效果。在恢復(fù)相位的研究中，分析了傳統(tǒng)多步相移算法的優(yōu)缺點(diǎn)，引入了改進(jìn)迭代算法和主成分分算法，并深入研究了僅從兩幅干涉圖就可以恢復(fù)相位的兩步相移算法，介紹了施密特正交化算法、相關(guān)系數(shù)算法和干涉極值法的原理，并提出了新的兩步相移算法：改進(jìn)的施密特正交化算法與內(nèi)積之比算法。分類號(hào) 密級(jí) 公開 UDC 學(xué)號(hào) 2012021579 碩士學(xué)位論文相移干涉測(cè)量中的相移相位提取算法及解包裹算法研究學(xué)位申請(qǐng)人： 牛 文 虎 專業(yè)名稱： 光學(xué)工程 研究方向： 微納成像檢測(cè)與應(yīng)用 所在院系： 信息光電子科技學(xué)院 導(dǎo)師姓名及職稱： 呂曉旭 教授 論文提交日期： 2015年5月20日 相移干涉測(cè)量中的相移相位提取算法及解包裹算法研究專業(yè)名稱：光學(xué)工程申請(qǐng)者姓名：牛 文 虎導(dǎo)師姓名：呂 曉 旭摘要 相移干涉測(cè)量技術(shù)作為一種高精度的光學(xué)干涉測(cè)量手段，在光學(xué)測(cè)量與檢測(cè)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法，分析比較了所提出的新算法和各種現(xiàn)有算法的特點(diǎn)及其適用范圍，為相移干涉測(cè)量中的相移相位提取提供了新的方法和思路。4. 研究了兩步相移算法所恢復(fù)的相位精度和全局符號(hào)與相移量的取值范圍之間的關(guān)系。將其與現(xiàn)有的兩步相移算法進(jìn)行比較，內(nèi)積之比算法在速度上有一定的優(yōu)勢(shì)，在精度上與其他兩步相移算法相當(dāng)。相移干涉測(cè)量技術(shù)(PhaseShifting Interferometry，簡(jiǎn)稱PSI)是光學(xué)干涉測(cè)量中的重要技術(shù)[4]，其測(cè)量的基本原理是：在光學(xué)系統(tǒng)的參考光路中加入相移器件（如壓電陶瓷微位移器(PZT)、半波片、1/4波片、偏振片或衍射光柵等），使其有序地改變參考光波和物光波之間的光程差，即產(chǎn)生了相移。時(shí)域相移法是指：在時(shí)間軸上產(chǎn)生相移,按一定的順序在不同的時(shí)刻采樣相移干涉圖的方法?？臻g載頻相移法是采用兩個(gè)窗函數(shù)卷積原干涉圖，從而產(chǎn)生多幅相移干涉圖，并使用時(shí)間相移法的公式進(jìn)行恢復(fù)相位。許多商用干涉儀和光學(xué)檢測(cè)儀器也都釆用了相移干涉測(cè)量技術(shù)。此后，為了進(jìn)一步提高相移干涉測(cè)量的精度，國(guó)內(nèi)外的研究者們做了大量的研究工作[24]，歸納起來(lái)基本可以分為兩大類：一是對(duì)硬件的研究，即優(yōu)化相移干涉測(cè)量的實(shí)驗(yàn)裝置和光學(xué)系統(tǒng)，使用更好的光學(xué)元件或設(shè)計(jì)更好的光學(xué)系統(tǒng)，降低因元件缺陷而帶來(lái)的測(cè)量誤差，盡量減少測(cè)量過(guò)程中的環(huán)境和其他因素的干擾[25]，或?qū)Ω蓴_造成的誤差進(jìn)行校正[26, 27]。一般來(lái)說(shuō)，要恢復(fù)待測(cè)物體的相位信息，至少需要三幅相移干涉圖；為了減少環(huán)境噪聲和其它干擾對(duì)相位測(cè)量精度的影響，三步、四步、五步以及N步相移算法等被不斷提出[30]。為此，許多相移量提取算法已經(jīng)被提出[3137]?；謴?fù)待測(cè)物體的相位信息，可以用來(lái)重構(gòu)物體三維形貌，測(cè)量表面輪廓或形變，在這一方面，國(guó)內(nèi)外的研究人員也提出了很多的相位恢復(fù)算法[3843]。近年來(lái)，為了降低環(huán)境和空氣擾動(dòng)對(duì)測(cè)量精度的影響，降低測(cè)量系統(tǒng)復(fù)雜性，以及減少提取相移量和恢復(fù)相位的計(jì)算量，提高運(yùn)算速度，許多兩步相移算法相繼而出[4454]。Muravsky等提出相關(guān)系數(shù)算法(CC)[49]，通過(guò)計(jì)算兩干涉圖向量之間的相關(guān)系數(shù)來(lái)提取相移量并進(jìn)一步恢復(fù)待測(cè)相位。雖然這些兩步相移算法幾乎都需要預(yù)先濾除相移干涉圖中的背景項(xiàng)，通常利用高斯高通濾波的方法在頻域中濾除背景項(xiàng)[55, 56]，該濾波方法雖然比較簡(jiǎn)便，卻不能完全濾除干涉圖的直流背景項(xiàng)，這也是影響兩步相移算法所恢復(fù)的相位精度的重要原因之一。在這一方面，針對(duì)噪聲、欠采樣或其他因素的影響，國(guó)內(nèi)外的研究人員也提出了很多解包裹算法，大致可分為路徑跟蹤算法與路徑無(wú)關(guān)算法[57]，其中比較經(jīng)典的算法有：行列逐點(diǎn)算法[57]、枝切法[57, 58]、最小二乘算法[57, 59]和基于傅里葉變換的解包算法[6062]等。傳統(tǒng)的算法一般需要三幅及三幅以上的相移干涉圖才能準(zhǔn)確并有效地提取相移量或恢復(fù)待測(cè)相位，數(shù)據(jù)量大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)。第二章對(duì)相移量提取算法進(jìn)行了概述，分別介紹反余弦算法、歐幾里得矩陣范數(shù)法和矩陣1范數(shù)法這三種應(yīng)用于多幅干涉圖的相移量提取算法的基本原理，并提出一種既可應(yīng)用于多幅相移干涉圖，又可以應(yīng)用于兩幅相移干涉圖的相移量提取算法。第五章分析了影響兩步相移算法精度的兩個(gè)主要因素：濾除背景項(xiàng)的方法和相移量的取值范圍。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：1. 改進(jìn)了原有的施密特正交化兩步相移算法，在保持原算法高精度的同時(shí)，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，減少了運(yùn)算時(shí)間，提高了運(yùn)算速度。在相移干涉測(cè)量過(guò)程中，由于相移器件和探測(cè)器的誤差以及外界環(huán)境擾動(dòng)等因素的影響，往往使得實(shí)際相移量與理論相移量存在一定的誤差。 現(xiàn)有的相移量提取算法 反余弦算法反余弦算法(Arccosine Algorithm，簡(jiǎn)稱ACA)通過(guò)尋找干涉圖序列中各個(gè)像素點(diǎn)的強(qiáng)度最大值與最小值，計(jì)算出干涉圖的背景項(xiàng)和調(diào)制項(xiàng)，再通過(guò)反余弦函數(shù)恢復(fù)待測(cè)相位并提取相移量。將公式(21)變換后可得 其中，是每一幅相移干涉圖的相對(duì)待測(cè)相位的大小，它是每幅干涉圖所對(duì)應(yīng)的相移量與待測(cè)相位之和。由干涉圖的光強(qiáng)表達(dá)式(21)可知，當(dāng)相移量為2kπ rad時(shí)(k=0, 1, 2, 3…)，干涉圖之間的差異性最小，其光強(qiáng)相等，幾乎無(wú)法區(qū)分。由于相移干涉圖之間的差異性與相移量有密切的關(guān)系。當(dāng)干涉圖中的干涉條紋數(shù)大于1時(shí)，公式(210)中的三角函數(shù)周期也大于1，如下近似條件可以成立 結(jié)合近似條件，此時(shí)公式(212)可以簡(jiǎn)化為 通常我們認(rèn)為，在相移干涉圖序列中，b(x,y)在時(shí)域上是不變化的，因此上式中的第一項(xiàng)B為常數(shù)項(xiàng)。 矩陣1范數(shù)法在上節(jié)我們知道，相移干涉圖之間的差異性與相移量存在一定的聯(lián)系。在一系列的干涉圖矩陣1范數(shù)中尋找其中的最大值與最小值，且有 由上面兩個(gè)公式聯(lián)立可得 由以上公式可知 因?yàn)橄嘁屏渴且粋€(gè)相對(duì)量，通常我們認(rèn)為，是一個(gè)常數(shù)，所以只要確定出A和B的值，就可以從公式(226)中計(jì)算出相位范數(shù)，進(jìn)而提取相移干涉圖之間相移量 綜上所述，矩陣1范數(shù)法(IN)提取相移量的步驟為：(1) 計(jì)算每幅相移干涉圖的矩陣1范數(shù)的值。本節(jié)提出一種基于干涉圖內(nèi)積之比的相移量提取算法(Ratio of Inner Products,簡(jiǎn)稱RIP)，該算法既可以提取多幅干涉圖的相移量，對(duì)相移量的范圍沒有特別的要求，且在只有兩幅干涉圖的情況下，也可以準(zhǔn)確計(jì)算相移量的值。當(dāng)干涉圖中的條紋數(shù)多于1個(gè)的時(shí)候，有以下近似條件： 結(jié)合公式(232)，可將公式(231) 簡(jiǎn)化為： 根據(jù)公式(230)、(233)，兩幅相移干涉圖之間的相移量可由反余弦函數(shù)求出： 綜上所述，基于內(nèi)積之比的算法(RIP)提取相移量的步驟為：(1) 使用高斯高通濾波器濾除相移干涉圖的背景項(xiàng)。模擬相移干涉圖的各參數(shù)設(shè)置為：背景項(xiàng)a(x,y)=120exp[(x2+y2)], 調(diào)制幅度b(x,y)=100exp[(x2+y2)], 待測(cè)相位 =4πexp[(x2+y2)], 第n幅相移干涉圖的相移量δn=(n1) rad，≤x,y≤ mm。從圖中可以看到，所提取的相移量整體誤差很小，但在真實(shí)相移量為π rad附近的區(qū)域，誤差比較大。此次模擬的干涉圖序列一共有60幅， rad。其中，均方根誤差為各算法所提取的相移量與模擬預(yù)設(shè)參考值的差值的均方根。這是因?yàn)镽IP算法在π rad附近的誤差較大，相移量小于π rad時(shí)，計(jì)算均方根誤差時(shí)，避開了誤差較大的區(qū)域；而此時(shí)干涉圖序列的相移量范圍小于π rad，EMN算法無(wú)法準(zhǔn)確定位最大范數(shù)點(diǎn)，IN、ACA算法不能正確標(biāo)定其相應(yīng)范數(shù)最大最小值或單像素光強(qiáng)的最大最小值，使得其均方根誤差增大。圖23 模擬直條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels。圖26 RIP算法對(duì)模擬復(fù)雜條紋相移干涉圖提取相移量的結(jié)果。從圖24中可以看到，與模擬的結(jié)果相同，所提取的相移量整體誤差很小，但在相移量為π rad附近的區(qū)域，誤差比較大。表22為本章節(jié)所介紹的幾種相移量提取算法對(duì)不同數(shù)量的實(shí)驗(yàn)相移干涉圖進(jìn)行提取相移量所用的運(yùn)算時(shí)間和其均方根誤差對(duì)比。但當(dāng)相移量的范圍小于π rad時(shí)（20幅，10幅），RIP的均方根誤差減少，其他三種算法的均方根誤差增加。分析和評(píng)價(jià)結(jié)果為：RIP和EMN算法均只適用于干涉圖中有多個(gè)干涉條紋的情況，EMN算法精度高，但要求相移量的范圍應(yīng)大于π rad；RIP算法的精度次之，對(duì)相移量的范圍沒有特別的要求；IN算法適用于干涉圖條紋少于一個(gè)的情況，運(yùn)算速度最快，精度也很高；ACA算法精度最高，但其計(jì)算時(shí)間比較長(zhǎng)，且要求相移量的范圍應(yīng)為一個(gè)整周期。定步長(zhǎng)相移算法要求使用到的N幅相移干涉圖之間的相移量是已知的，并且是某些定值（如π/π/3π/2 rad等）。各類算法均有其各自的優(yōu)缺點(diǎn)，其中常用的是定步長(zhǎng)算法與非定步長(zhǎng)算法，下面分別對(duì)這兩類算法進(jìn)行介紹，并對(duì)各類中的幾種典型算法進(jìn)行原理分析。 三步相移算法在三步相移算法中，需要采集三幅相移干涉圖進(jìn)行計(jì)算。目前常用的非定步長(zhǎng)相移算法主要有改進(jìn)迭代算法和主成分分析算法。同上一節(jié)，相移干涉測(cè)量中，第n幅相移干涉圖的光強(qiáng)可表示為： 為描述方便，本文將上式改寫為： 其中，k=1, 2,…, K, K為每幅干涉圖的像素總數(shù)。最小二乘誤差Sk 可以表示為 其中，為實(shí)驗(yàn)中采集到的第n幅干涉圖第k個(gè)像素點(diǎn)的光強(qiáng)。此時(shí)我們可以定義，相移干涉圖的理論值可以表示為 經(jīng)過(guò)第一步，待測(cè)相位的值為已知量。其收斂條件為 其中，j代表迭代次數(shù)，為一個(gè)預(yù)設(shè)的很小的值，如104，它代表了迭代算法對(duì)精度的要求。同上一節(jié)，本文將第n幅相移干涉圖的光強(qiáng)可表示為： 因?yàn)镃CD等探測(cè)器采集到的每一幅干涉圖的光強(qiáng)都為一個(gè)二維向量組，為描述方便，本文將其重構(gòu)為一個(gè)一維的行向量組，重構(gòu)后的第n幅相移干涉圖可以表示為 每一幅重構(gòu)后的干涉圖光強(qiáng)是一個(gè)1K的行向量，K為每幅干涉圖的像素總數(shù)。下面介紹該算法恢復(fù)相位的原理。通過(guò)這兩組特征值和特征向量，可將協(xié)方差矩陣C對(duì)角化為對(duì)角矩陣D，相應(yīng)的正交變換矩陣為U。從表31中可以看出，在無(wú)噪聲的情況下，定步長(zhǎng)相移算法的誤差為0 rad. 但隨著噪聲的加大，定步長(zhǎng)算法的均方根誤差變化比較大，而非定步長(zhǎng)算法的精度變化較小。以此類推， rad， rad， rad，在不同相移量偏移情況下，計(jì)算定步長(zhǎng)算法恢復(fù)相位的均方根誤差，結(jié)果如表32所示。兩步相移算法可以在相移量未知的情況下，僅從兩幅相移干涉圖恢復(fù)相位，速度快，精度也較高。當(dāng)線性無(wú)關(guān)的向量組只有兩個(gè)向量時(shí)，施密特正交化的過(guò)程如下： 是歸一化后的向量，它們是相互正交的。因此，利用施密特正交化將兩個(gè)干涉圖向量正交化，可以得到兩個(gè)正交信號(hào)，進(jìn)而恢復(fù)出待測(cè)相位。協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義分別為 其中、分別為X、Y的平均值。干涉極值法(Extreme Value of Interference, 簡(jiǎn)稱EVI)是指在干涉圖中的尋找干涉的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)，然后利用這些特殊像素點(diǎn)，確定相移干涉圖之間的相移量，進(jìn)而根據(jù)公式(431)求解待測(cè)相位的方法。假設(shè)在第一幅濾波后的干涉圖中找到了P個(gè)光強(qiáng)極大值像素點(diǎn)和V個(gè)光強(qiáng)極小值像素點(diǎn)，在干涉圖中對(duì)應(yīng)的像素位置分別是p1，p2，…，pP 和v1，v2，…，vV。下面介紹該算法提取相移量的過(guò)程。通過(guò)上述的GS算法與IGS算法的原理分析可以看出：IGS算法是在施密特正交化的基礎(chǔ)上先提取相移量，再恢復(fù)待測(cè)相位。在第二章中，本文提出了基于內(nèi)積之比的相移提取算法，該算法既可以計(jì)算多幅干涉圖之間的相移量，又可以用于計(jì)算兩幅干涉圖之間的相移量。首先利用高斯高通濾波器濾除兩幅相移干涉圖中的背景項(xiàng)，得到 其次計(jì)算濾波后的干涉圖的內(nèi)積，得到 若干涉圖中的條紋數(shù)量大于1，即干涉圖光強(qiáng)表達(dá)式中的三角函數(shù)周期數(shù)大于1。同時(shí)，在模擬干涉圖中加入了噪信比為5%的高斯加性噪聲。并將其結(jié)果與預(yù)設(shè)相位值(REF)進(jìn)行比較。圖42 不同算法對(duì)模擬干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位的結(jié)果。由上述分析可知，RIP與IGS算法與其他兩步相移算法相比，在速度上有一定的優(yōu)勢(shì)，精度上也與其保持相當(dāng)?shù)乃健?shí)驗(yàn)中的光源為HeNe激光器， nm。干涉圖由CCD采集記錄并傳輸?shù)接?jì)算機(jī)上。圖43(a) 同軸相移干涉測(cè)量系統(tǒng)示意圖。與模擬計(jì)算的過(guò)程相似，本文使用RIP和IGS算法對(duì)兩組實(shí)驗(yàn)干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位，同時(shí)也給出了GS、EVI和CC算法對(duì)兩組干涉圖進(jìn)行計(jì)算所恢復(fù)的相位，各算法所得的結(jié)果分別如圖45(bf)、圖46(bf)所示。由計(jì)算機(jī)模擬與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可知，在兩步相移干涉測(cè)量中，RIP與IGS均適合應(yīng)用于恢復(fù)相位與提取相移量。(a)參考值(AIA)，(b)RIP算法恢復(fù)的相位，(c)IGS算法恢復(fù)的相位，(d)GS算法恢復(fù)的相位，(e)EVI算法恢復(fù)的相位，(f)CC算法恢復(fù)的相位。其中本文中使用的濾波方法是高斯高通濾波法，該方法比較簡(jiǎn)便，是兩步相移算法中常用的濾波方法。高斯低通濾波器是一種平滑濾波器，高斯高通濾波器是由高斯低通濾波器的差分構(gòu)成，被高斯低通濾波器衰減的頻率能通過(guò)高斯高通濾波器。因?yàn)槿呛瘮?shù)在整周期內(nèi)求和的值為0，于是可以求得干涉圖的背景項(xiàng) 使用相減的方式，便可以濾除干涉圖的背景項(xiàng)。這兩幅差分圖像幾乎不包含相移干涉