【正文】 兩步相移算法，可以快速并準確地恢復待測相位。3. 介紹了幾種常見的濾除干涉圖背景項的方法和原理，并結合兩步相移算法分析了各方法的濾波效果。在恢復相位的研究中，分析了傳統(tǒng)多步相移算法的優(yōu)缺點，引入了改進迭代算法和主成分分算法，并深入研究了僅從兩幅干涉圖就可以恢復相位的兩步相移算法，介紹了施密特正交化算法、相關系數(shù)算法和干涉極值法的原理，并提出了新的兩步相移算法：改進的施密特正交化算法與內積之比算法。分類號 密級 公開 UDC 學號 2012021579 碩士學位論文相移干涉測量中的相移相位提取算法及解包裹算法研究學位申請人： 牛 文 虎 專業(yè)名稱： 光學工程 研究方向： 微納成像檢測與應用 所在院系： 信息光電子科技學院 導師姓名及職稱： 呂曉旭 教授 論文提交日期： 2015年5月20日 相移干涉測量中的相移相位提取算法及解包裹算法研究專業(yè)名稱：光學工程申請者姓名：牛 文 虎導師姓名：呂 曉 旭摘要 相移干涉測量技術作為一種高精度的光學干涉測量手段，在光學測量與檢測領域具有廣泛應用。通過計算機模擬和實驗驗證的方法，分析比較了所提出的新算法和各種現(xiàn)有算法的特點及其適用范圍，為相移干涉測量中的相移相位提取提供了新的方法和思路。4. 研究了兩步相移算法所恢復的相位精度和全局符號與相移量的取值范圍之間的關系。將其與現(xiàn)有的兩步相移算法進行比較，內積之比算法在速度上有一定的優(yōu)勢，在精度上與其他兩步相移算法相當。相移干涉測量技術(PhaseShifting Interferometry，簡稱PSI)是光學干涉測量中的重要技術[4]，其測量的基本原理是：在光學系統(tǒng)的參考光路中加入相移器件（如壓電陶瓷微位移器(PZT)、半波片、1/4波片、偏振片或衍射光柵等），使其有序地改變參考光波和物光波之間的光程差，即產(chǎn)生了相移。時域相移法是指：在時間軸上產(chǎn)生相移,按一定的順序在不同的時刻采樣相移干涉圖的方法。空間載頻相移法是采用兩個窗函數(shù)卷積原干涉圖，從而產(chǎn)生多幅相移干涉圖，并使用時間相移法的公式進行恢復相位。許多商用干涉儀和光學檢測儀器也都釆用了相移干涉測量技術。此后，為了進一步提高相移干涉測量的精度，國內外的研究者們做了大量的研究工作[24]，歸納起來基本可以分為兩大類：一是對硬件的研究，即優(yōu)化相移干涉測量的實驗裝置和光學系統(tǒng)，使用更好的光學元件或設計更好的光學系統(tǒng)，降低因元件缺陷而帶來的測量誤差，盡量減少測量過程中的環(huán)境和其他因素的干擾[25]，或對干擾造成的誤差進行校正[26, 27]。一般來說，要恢復待測物體的相位信息，至少需要三幅相移干涉圖；為了減少環(huán)境噪聲和其它干擾對相位測量精度的影響，三步、四步、五步以及N步相移算法等被不斷提出[30]。為此，許多相移量提取算法已經(jīng)被提出[3137]?；謴痛郎y物體的相位信息，可以用來重構物體三維形貌，測量表面輪廓或形變，在這一方面，國內外的研究人員也提出了很多的相位恢復算法[3843]。近年來，為了降低環(huán)境和空氣擾動對測量精度的影響，降低測量系統(tǒng)復雜性，以及減少提取相移量和恢復相位的計算量，提高運算速度，許多兩步相移算法相繼而出[4454]。Muravsky等提出相關系數(shù)算法(CC)[49]，通過計算兩干涉圖向量之間的相關系數(shù)來提取相移量并進一步恢復待測相位。雖然這些兩步相移算法幾乎都需要預先濾除相移干涉圖中的背景項，通常利用高斯高通濾波的方法在頻域中濾除背景項[55, 56]，該濾波方法雖然比較簡便，卻不能完全濾除干涉圖的直流背景項，這也是影響兩步相移算法所恢復的相位精度的重要原因之一。在這一方面，針對噪聲、欠采樣或其他因素的影響，國內外的研究人員也提出了很多解包裹算法，大致可分為路徑跟蹤算法與路徑無關算法[57]，其中比較經(jīng)典的算法有：行列逐點算法[57]、枝切法[57, 58]、最小二乘算法[57, 59]和基于傅里葉變換的解包算法[6062]等。傳統(tǒng)的算法一般需要三幅及三幅以上的相移干涉圖才能準確并有效地提取相移量或恢復待測相位，數(shù)據(jù)量大，運算時間長。第二章對相移量提取算法進行了概述，分別介紹反余弦算法、歐幾里得矩陣范數(shù)法和矩陣1范數(shù)法這三種應用于多幅干涉圖的相移量提取算法的基本原理，并提出一種既可應用于多幅相移干涉圖，又可以應用于兩幅相移干涉圖的相移量提取算法。第五章分析了影響兩步相移算法精度的兩個主要因素：濾除背景項的方法和相移量的取值范圍。本文的主要創(chuàng)新點如下：1. 改進了原有的施密特正交化兩步相移算法，在保持原算法高精度的同時，簡化了計算過程，減少了運算時間，提高了運算速度。在相移干涉測量過程中，由于相移器件和探測器的誤差以及外界環(huán)境擾動等因素的影響，往往使得實際相移量與理論相移量存在一定的誤差。 現(xiàn)有的相移量提取算法 反余弦算法反余弦算法(Arccosine Algorithm，簡稱ACA)通過尋找干涉圖序列中各個像素點的強度最大值與最小值，計算出干涉圖的背景項和調制項，再通過反余弦函數(shù)恢復待測相位并提取相移量。將公式(21)變換后可得 其中，是每一幅相移干涉圖的相對待測相位的大小，它是每幅干涉圖所對應的相移量與待測相位之和。由干涉圖的光強表達式(21)可知，當相移量為2kπ rad時(k=0, 1, 2, 3…)，干涉圖之間的差異性最小，其光強相等，幾乎無法區(qū)分。由于相移干涉圖之間的差異性與相移量有密切的關系。當干涉圖中的干涉條紋數(shù)大于1時，公式(210)中的三角函數(shù)周期也大于1，如下近似條件可以成立 結合近似條件，此時公式(212)可以簡化為 通常我們認為，在相移干涉圖序列中，b(x,y)在時域上是不變化的，因此上式中的第一項B為常數(shù)項。 矩陣1范數(shù)法在上節(jié)我們知道，相移干涉圖之間的差異性與相移量存在一定的聯(lián)系。在一系列的干涉圖矩陣1范數(shù)中尋找其中的最大值與最小值，且有 由上面兩個公式聯(lián)立可得 由以上公式可知 因為相移量是一個相對量，通常我們認為，是一個常數(shù)，所以只要確定出A和B的值，就可以從公式(226)中計算出相位范數(shù)，進而提取相移干涉圖之間相移量 綜上所述，矩陣1范數(shù)法(IN)提取相移量的步驟為：(1) 計算每幅相移干涉圖的矩陣1范數(shù)的值。本節(jié)提出一種基于干涉圖內積之比的相移量提取算法(Ratio of Inner Products,簡稱RIP)，該算法既可以提取多幅干涉圖的相移量，對相移量的范圍沒有特別的要求，且在只有兩幅干涉圖的情況下，也可以準確計算相移量的值。當干涉圖中的條紋數(shù)多于1個的時候，有以下近似條件： 結合公式(232)，可將公式(231) 簡化為： 根據(jù)公式(230)、(233)，兩幅相移干涉圖之間的相移量可由反余弦函數(shù)求出： 綜上所述，基于內積之比的算法(RIP)提取相移量的步驟為：(1) 使用高斯高通濾波器濾除相移干涉圖的背景項。模擬相移干涉圖的各參數(shù)設置為：背景項a(x,y)=120exp[(x2+y2)], 調制幅度b(x,y)=100exp[(x2+y2)], 待測相位 =4πexp[(x2+y2)], 第n幅相移干涉圖的相移量δn=(n1) rad，≤x,y≤ mm。從圖中可以看到，所提取的相移量整體誤差很小，但在真實相移量為π rad附近的區(qū)域，誤差比較大。此次模擬的干涉圖序列一共有60幅， rad。其中，均方根誤差為各算法所提取的相移量與模擬預設參考值的差值的均方根。這是因為RIP算法在π rad附近的誤差較大，相移量小于π rad時，計算均方根誤差時，避開了誤差較大的區(qū)域；而此時干涉圖序列的相移量范圍小于π rad，EMN算法無法準確定位最大范數(shù)點，IN、ACA算法不能正確標定其相應范數(shù)最大最小值或單像素光強的最大最小值，使得其均方根誤差增大。圖23 模擬直條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels。圖26 RIP算法對模擬復雜條紋相移干涉圖提取相移量的結果。從圖24中可以看到，與模擬的結果相同，所提取的相移量整體誤差很小，但在相移量為π rad附近的區(qū)域，誤差比較大。表22為本章節(jié)所介紹的幾種相移量提取算法對不同數(shù)量的實驗相移干涉圖進行提取相移量所用的運算時間和其均方根誤差對比。但當相移量的范圍小于π rad時（20幅，10幅），RIP的均方根誤差減少，其他三種算法的均方根誤差增加。分析和評價結果為：RIP和EMN算法均只適用于干涉圖中有多個干涉條紋的情況，EMN算法精度高，但要求相移量的范圍應大于π rad；RIP算法的精度次之，對相移量的范圍沒有特別的要求；IN算法適用于干涉圖條紋少于一個的情況，運算速度最快，精度也很高；ACA算法精度最高，但其計算時間比較長，且要求相移量的范圍應為一個整周期。定步長相移算法要求使用到的N幅相移干涉圖之間的相移量是已知的，并且是某些定值（如π/π/3π/2 rad等）。各類算法均有其各自的優(yōu)缺點，其中常用的是定步長算法與非定步長算法，下面分別對這兩類算法進行介紹，并對各類中的幾種典型算法進行原理分析。 三步相移算法在三步相移算法中，需要采集三幅相移干涉圖進行計算。目前常用的非定步長相移算法主要有改進迭代算法和主成分分析算法。同上一節(jié)，相移干涉測量中，第n幅相移干涉圖的光強可表示為： 為描述方便，本文將上式改寫為： 其中，k=1, 2,…, K, K為每幅干涉圖的像素總數(shù)。最小二乘誤差Sk 可以表示為 其中，為實驗中采集到的第n幅干涉圖第k個像素點的光強。此時我們可以定義，相移干涉圖的理論值可以表示為 經(jīng)過第一步，待測相位的值為已知量。其收斂條件為 其中，j代表迭代次數(shù)，為一個預設的很小的值，如104，它代表了迭代算法對精度的要求。同上一節(jié)，本文將第n幅相移干涉圖的光強可表示為： 因為CCD等探測器采集到的每一幅干涉圖的光強都為一個二維向量組，為描述方便，本文將其重構為一個一維的行向量組，重構后的第n幅相移干涉圖可以表示為 每一幅重構后的干涉圖光強是一個1K的行向量，K為每幅干涉圖的像素總數(shù)。下面介紹該算法恢復相位的原理。通過這兩組特征值和特征向量，可將協(xié)方差矩陣C對角化為對角矩陣D，相應的正交變換矩陣為U。從表31中可以看出，在無噪聲的情況下，定步長相移算法的誤差為0 rad. 但隨著噪聲的加大，定步長算法的均方根誤差變化比較大，而非定步長算法的精度變化較小。以此類推， rad， rad， rad，在不同相移量偏移情況下，計算定步長算法恢復相位的均方根誤差，結果如表32所示。兩步相移算法可以在相移量未知的情況下，僅從兩幅相移干涉圖恢復相位，速度快，精度也較高。當線性無關的向量組只有兩個向量時，施密特正交化的過程如下： 是歸一化后的向量，它們是相互正交的。因此，利用施密特正交化將兩個干涉圖向量正交化，可以得到兩個正交信號，進而恢復出待測相位。協(xié)方差和標準差的定義分別為 其中、分別為X、Y的平均值。干涉極值法(Extreme Value of Interference, 簡稱EVI)是指在干涉圖中的尋找干涉的極大值點或極小值點，然后利用這些特殊像素點，確定相移干涉圖之間的相移量，進而根據(jù)公式(431)求解待測相位的方法。假設在第一幅濾波后的干涉圖中找到了P個光強極大值像素點和V個光強極小值像素點，在干涉圖中對應的像素位置分別是p1，p2，…，pP 和v1，v2，…，vV。下面介紹該算法提取相移量的過程。通過上述的GS算法與IGS算法的原理分析可以看出：IGS算法是在施密特正交化的基礎上先提取相移量，再恢復待測相位。在第二章中，本文提出了基于內積之比的相移提取算法，該算法既可以計算多幅干涉圖之間的相移量，又可以用于計算兩幅干涉圖之間的相移量。首先利用高斯高通濾波器濾除兩幅相移干涉圖中的背景項，得到 其次計算濾波后的干涉圖的內積，得到 若干涉圖中的條紋數(shù)量大于1，即干涉圖光強表達式中的三角函數(shù)周期數(shù)大于1。同時，在模擬干涉圖中加入了噪信比為5%的高斯加性噪聲。并將其結果與預設相位值(REF)進行比較。圖42 不同算法對模擬干涉圖進行恢復相位的結果。由上述分析可知，RIP與IGS算法與其他兩步相移算法相比，在速度上有一定的優(yōu)勢，精度上也與其保持相當?shù)乃健嶒炛械墓庠礊镠eNe激光器， nm。干涉圖由CCD采集記錄并傳輸?shù)接嬎銠C上。圖43(a) 同軸相移干涉測量系統(tǒng)示意圖。與模擬計算的過程相似，本文使用RIP和IGS算法對兩組實驗干涉圖進行恢復相位，同時也給出了GS、EVI和CC算法對兩組干涉圖進行計算所恢復的相位，各算法所得的結果分別如圖45(bf)、圖46(bf)所示。由計算機模擬與實驗的結果可知，在兩步相移干涉測量中，RIP與IGS均適合應用于恢復相位與提取相移量。(a)參考值(AIA)，(b)RIP算法恢復的相位，(c)IGS算法恢復的相位，(d)GS算法恢復的相位，(e)EVI算法恢復的相位，(f)CC算法恢復的相位。其中本文中使用的濾波方法是高斯高通濾波法，該方法比較簡便，是兩步相移算法中常用的濾波方法。高斯低通濾波器是一種平滑濾波器，高斯高通濾波器是由高斯低通濾波器的差分構成，被高斯低通濾波器衰減的頻率能通過高斯高通濾波器。因為三角函數(shù)在整周期內求和的值為0，于是可以求得干涉圖的背景項 使用相減的方式，便可以濾除干涉圖的背景項。這兩幅差分圖像幾乎不包含相移干涉