【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 稱為的估計(jì)值，用表示，即 (33)=+ 維納濾波器的輸入一輸出關(guān)系 。這個(gè)線性系統(tǒng)稱為對(duì)于的一種估計(jì)器。實(shí)際上，式(33)的卷積形式可以理解為從當(dāng)前和過(guò)去的觀察值來(lái)估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值。因此，用進(jìn)行過(guò)濾的問(wèn)題可以看成是一個(gè)估計(jì)問(wèn)題。由于我們現(xiàn)在涉及的信號(hào)是隨機(jī)信號(hào)，所以這樣一種過(guò)濾問(wèn)題實(shí)際上是一種統(tǒng)計(jì)估計(jì)問(wèn)題。一般，從當(dāng)前的和過(guò)去的觀察值估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)值稱為過(guò)濾或?yàn)V波。從過(guò)去的觀察值，估計(jì)當(dāng)前的或?qū)?lái)的信號(hào)值 稱為預(yù)測(cè)或外推。從過(guò)去的觀察值，估計(jì)過(guò)去的信號(hào)值稱為平滑或內(nèi)插。因此維納過(guò)濾又常常被稱為最佳線性過(guò)濾與預(yù)測(cè)或線性最優(yōu)估計(jì)。這里所謂最佳與最優(yōu)是以最小均方誤差為準(zhǔn)則的。這里只討論過(guò)濾與預(yù)測(cè)問(wèn)題。如果我們以:與分別表示信號(hào)的真值與估計(jì)值，而用表示它們之間的誤差，即 (34)顯然，可能是正的，也可能是負(fù)的，并且它是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，用它的均方值來(lái)表達(dá)誤差是合理的，所謂均方誤差最小即它的平方的統(tǒng)計(jì)平均值最小: (35)采用最小均方誤差準(zhǔn)則作為最佳過(guò)濾準(zhǔn)則的原因還在于它的理論分析比較簡(jiǎn)單，不要求對(duì)概率的描述。并且在這種準(zhǔn)則下導(dǎo)出的最佳線性系統(tǒng)對(duì)其它很廣泛一類準(zhǔn)則而言也是最佳的。 運(yùn)動(dòng)模糊參數(shù)的確定1. 算法理論分析假設(shè)快門的開(kāi)啟和關(guān)閉所用時(shí)間非常短，那么光學(xué)成像過(guò)程不會(huì)受到運(yùn)動(dòng)的干擾，圖像也不會(huì)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)模糊退化現(xiàn)象。如果設(shè)T為曝光時(shí)間，則運(yùn)動(dòng)模糊退化模型為 （36）式（36）中：g（x，y）表示模糊退化圖像，f（x，y）表示原始圖像。n（x，y）表示噪聲。首先考慮沒(méi)有噪聲的情況，對(duì)式(36)進(jìn)行傅里葉變換得。 （37） （38）式中： H(u，v)表示退化圖像的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)。假設(shè)當(dāng)前圖像做勻速直線運(yùn)動(dòng)，勻速直線運(yùn)動(dòng)模糊退化函數(shù)由式(38)變換為： （39）由于圖像在PC機(jī)上存儲(chǔ)為離散形式，需要將上述傳遞函數(shù)表示為離散表達(dá)式，設(shè)圖像尺寸為MN，由二維離散傅里葉變換的公式得: （310）其中，u取值為0到M1，v取值為0到N1. （311） 當(dāng)n為其它整數(shù)值時(shí)，H（u，v）=0，從而G（u，v）=，G（u，v）的圖像在非零整數(shù)的線上顯示為黑色條紋(黑色表示最小灰度，白色表示最大灰度)。如果 M，N為素?cái)?shù)，雖然u，v在各自取值范圍內(nèi)無(wú)法為非零正整數(shù)，但對(duì)于一般圖像其頻譜圖依然會(huì)呈現(xiàn)規(guī)則的明暗條紋狀。這是由于sinπ為周期函數(shù)，它在自己的前后兩個(gè)半周期內(nèi)呈現(xiàn)明顯的遞減和遞增特性，從而也形成規(guī)則的明暗條紋。容易證明，退化圖像頻譜中條紋傾斜角度即為直線斜率所對(duì)應(yīng)角度，可用公式表示為: (313) (314)默認(rèn)圖像頻譜暗條紋方向與運(yùn)動(dòng)模糊的方向相垂直，由式(314)可以看出，僅當(dāng)N =M 時(shí)，條紋角度與模糊角度是垂直的，但當(dāng)所處理圖片長(zhǎng)和寬不相等時(shí)(大部分的待處理圖像都是長(zhǎng)寬不等的)，簡(jiǎn)單認(rèn)為模糊角度和條紋傾斜角度垂直是不準(zhǔn)確的。而如果對(duì)圖片進(jìn)行不當(dāng)?shù)牟眉魰?huì)破壞原始圖像信息，尤其對(duì)于抓拍到的高速車輛圖像，其背景靜止而只有車輛運(yùn)動(dòng)，原始像素信息會(huì)的到較好的保留，如強(qiáng)行將圖片修剪為正方形會(huì)對(duì)模糊參數(shù)的檢測(cè)帶來(lái)不利影響。而根據(jù)式(314)，對(duì)任意尺寸的圖像，一旦檢測(cè)出退化圖像頻譜條紋角度，就可以有效的確定運(yùn)動(dòng)模糊角度。 對(duì)圖像頻譜處理過(guò)程中，通常將圖像通過(guò)循環(huán)移位方式把u=0，v=0 移到中心位置，由點(diǎn)到直線的距離公式，中心點(diǎn)(0,0)到直線的距離d為（315） (315)由對(duì)稱性，圖像中心兩個(gè)暗條紋之間的間距D=2d，設(shè)圖像的模糊長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則。令M=N，得（316） （316）由式(316)可得模糊長(zhǎng)度為（317） （317）（317）僅考慮了x 軸方向運(yùn)動(dòng)模糊的情況，并得出，其中N為圖像寬度d為非中心兩個(gè)暗條紋間距。公式 無(wú)法簡(jiǎn)單的推廣到任意運(yùn)動(dòng)方向模糊的情況中去?？梢缘贸觯?dāng)被處理圖片為長(zhǎng)寬相等時(shí)，=1，模糊長(zhǎng)度和中心暗條紋間距為簡(jiǎn)單的反比關(guān)系，但當(dāng)所處理圖片長(zhǎng)寬不相等時(shí)，只能用式（317）來(lái)確定模糊長(zhǎng)度。2 .算法實(shí)現(xiàn)對(duì)于二維函數(shù) f（x，y），Radon 變換計(jì)算它在某一指定角度射線方向的投影變換，即它在確定方向上的線積分。首先對(duì)得到的頻譜圖像進(jìn)行二值化預(yù)處理，理論上當(dāng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)到與條紋方向相垂直時(shí)，Radon 變換的最大值為各角度Radon變換最大值中的極大值，這樣通過(guò)尋找這個(gè)極大值就可以確定暗條紋傾斜角度。而在這個(gè)角度進(jìn)行Radon變換得到的二維變換圖像中的主瓣寬度則對(duì)應(yīng)頻譜圖像中的中心相鄰暗條紋寬度，其旁瓣對(duì)應(yīng)相應(yīng)位置相鄰暗條紋間距。 像素的圖像頻譜二值化后在垂直于其暗條紋方向的軸得到的Radon變換投影圖像，其縱軸為像素灰度累加和，橫軸為圖像寬度單位為像素。圖中主瓣寬度即為頻譜圖像中的中心相鄰暗條紋間距D。圖 退化圖像 Radon 變換投影由于電腦所處理圖像為數(shù)字圖像，這樣對(duì)相鄰暗條紋間距的進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，會(huì)存在最大1個(gè)像素的絕對(duì)誤差，在文獻(xiàn)中已有對(duì)類似情況的詳細(xì)證明，此處不再贅述。由公式知，當(dāng)出現(xiàn)這種最惡劣情況時(shí)，檢測(cè)長(zhǎng)度產(chǎn)生的絕對(duì)誤差為1/D，可以通過(guò)檢測(cè)多個(gè)暗條紋之間的總的間距，然后取條紋間距的平均值來(lái)減少絕對(duì)誤差。但是由于因子的衰減作用，對(duì)于不是特別高清晰度的普通分辨率小圖片，即使當(dāng)較小的噪聲作用與圖像時(shí)，其頻譜圖像中，除中心暗條紋依然清晰可見(jiàn)外，其它暗條紋已經(jīng)模糊不清。即檢測(cè)多個(gè)暗條紋間距，并取平均值的方法缺乏對(duì)噪聲的抵抗性。因此本算法只檢測(cè)頻譜圖像中心暗條紋間距來(lái)進(jìn)行模糊長(zhǎng)度的檢測(cè)?；谏鲜隼碚摲治?，我們可以設(shè)計(jì)出檢測(cè)運(yùn)動(dòng)模糊角度和長(zhǎng)度的方法，并實(shí)現(xiàn)對(duì)退化圖像的自動(dòng)恢復(fù)；(1) 計(jì)算|G（u，v）|，轉(zhuǎn)化為log(|G（u，v）|)，并且移位使u =0，v=0 位于中心位置；(2) 對(duì)得到的頻譜圖像進(jìn)行二值化處理；(3) 對(duì)移位后的log(|G（u，v）|)進(jìn)行Radon變換，找出變換最大值對(duì)應(yīng)的角度a，在尋找a 的過(guò)程中可以使用二分法提高檢測(cè)效率；(4) 由式(313)求出模糊角度檢測(cè)值；(5) 根據(jù)在方向的 Radon 變換值檢測(cè)頻譜中心暗條紋間距；(6) 根據(jù)式(317)得出模糊長(zhǎng)度 L檢測(cè)值；(7) 用檢測(cè)出的模糊角度和模糊長(zhǎng)度構(gòu)造點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；(8) 運(yùn)用維納濾波法對(duì)圖像進(jìn)行恢復(fù)；(9) 對(duì)恢復(fù)圖像進(jìn)行處理，去除振鈴效應(yīng)。3 .實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析。這對(duì)使用Radon算法檢測(cè)模糊角度產(chǎn)生了較大影響，進(jìn)而影響了模糊長(zhǎng)度的檢測(cè)。在這種情況下，可以在檢測(cè)出的角度周圍小范圍內(nèi)，對(duì)各個(gè)角度Radon變換投影主瓣進(jìn)行積分，并采用積分值為最大時(shí)的角度為模糊角度。經(jīng)反復(fù)試驗(yàn)驗(yàn)證，此方法可以將暗條紋角度檢測(cè)的誤差控制在1176。以內(nèi)，進(jìn)而可以比較精確地檢測(cè)出中心暗條紋間距。這樣，使用本文方法檢測(cè)出的模糊參數(shù)構(gòu)造點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，來(lái)恢復(fù)退化圖像可以取得很好的效果。圖 退化圖像二值化后頻譜（WienerHopf）方程設(shè)計(jì)維納濾波器的過(guò)程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng)或傳遞函數(shù)的表達(dá)式，其實(shí)質(zhì)就是解維納霍夫（WienerHopf）方程。我們從時(shí)域入手求最小均方誤差下的,用表示最佳線性濾波器。這里只討論因果可實(shí)現(xiàn)濾波器的設(shè)計(jì)。因果的維納濾波器,設(shè)是物理可實(shí)現(xiàn)的，也即是因果序列：, 當(dāng)因此，從式上式中可推導(dǎo)： (318) (319)要使得均方誤差最小，則將上式對(duì)各,求偏導(dǎo)，并且等于零，得 (320)即 (321)用相關(guān)函數(shù)來(lái)表達(dá)上式，則得到維納霍夫方程的離散形式： (322)由式(322)進(jìn)一步化簡(jiǎn)得： (323)有限脈沖響應(yīng)法求解維納—霍夫方程 如何去求解維納—霍夫方程，即式(324)中解的問(wèn)題，設(shè)是一個(gè)因果序列且可以用有限長(zhǎng)（點(diǎn)長(zhǎng)）的序列去逼進(jìn)它，則(322)—(324)分別發(fā)生變化： (324) (325) (326) (327) (328)其中。于是得到個(gè)線性方程,寫成矩陣形式有： (329) (330) (331)用有限長(zhǎng)的來(lái)實(shí)現(xiàn)維納濾波時(shí)，當(dāng)已知觀測(cè)值的自相關(guān)和信號(hào)的互相關(guān)時(shí)就可以按照式(328)在時(shí)域里求解。但是當(dāng)N比較大時(shí)，計(jì)算量很大，并且涉及到求自相關(guān)矩陣的逆矩陣問(wèn)題。 維納濾波仿真實(shí)現(xiàn) 維納濾波器K眾所周知，維娜濾波器是給出與原圖像的平均二乘誤差為最小的圖像的恢復(fù)作用因子。因此，確定K參數(shù)公式推導(dǎo)如下：因?yàn)榕c原圖像f和噪聲z無(wú)關(guān)，所以無(wú)論f或者z中的哪一個(gè)的平均值為零時(shí)，下式成立： （332）其中分別是f的集合平均和z的集合平均。試求使最小時(shí)的作為恢復(fù)圖像的恢復(fù)作用因子K。即求出K參數(shù)。根據(jù)離散離散模型（333）可知： （333）那么上式變?yōu)椋?34） （334）是對(duì)稱矩陣，由于矩陣的共軛轉(zhuǎn)置的軌跡等于原矩陣的軌跡，所以式（336）右邊的第2項(xiàng)和3項(xiàng)相等。因此，式（336）變?yōu)橄率剑? （335）用K的各因子對(duì)式（）進(jìn)行偏微分，如果設(shè)其結(jié)果為零，因?yàn)橄率匠闪ⅲ? （336）所以可以由下式得到恢復(fù)濾波器K為： （337）該式就是維娜濾波器K參數(shù)的一般公式形式。若該噪聲的均值為零，,的逆矩陣存在時(shí)，作為通過(guò)使用逆矩陣的輔助定理，有下式： （338）進(jìn)一步，如果是白噪聲，由于可以表示為，所以式（340）變?yōu)橄率剑? （339）在此，如果以作用因子論考慮式（341）的含義。如下所示。因?yàn)槭堑降淖饔靡蜃?，是到的作用因子。所以?dāng)時(shí)，作用因子的積就不能定義。就是說(shuō)，式（340）只有當(dāng)=時(shí)才有意義。作為式（340）的特別情況，考慮位移不變的連續(xù)連續(xù)模型。在該模型中，當(dāng)原圖像與噪聲都屬于弱穩(wěn)定各態(tài)經(jīng)歷隨機(jī)場(chǎng)時(shí)，即恢復(fù)濾波器，成為下式： （340）其中，分別是原圖像和噪聲的功率譜密度。如果使對(duì)應(yīng)于H，（是負(fù)數(shù)共軛）對(duì)應(yīng)于，對(duì)應(yīng)于，對(duì)應(yīng)于。當(dāng)原圖像與噪聲的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)未知時(shí)，作為式（340）的近似，可以用下式表示： （341）其中，是常數(shù)。當(dāng)不存在噪聲時(shí)，由于可以設(shè)=0，所以式（）變?yōu)椋? （342）上式為逆濾波的K的一般表達(dá)形式。 圖像的恢復(fù)效果對(duì)比在仿真實(shí)驗(yàn)中，主要利用了MATLAB ，利用MATLAB中自帶的函數(shù)wiener和deconvwnr對(duì)噪聲污染的圖片進(jìn)行含噪信號(hào)的恢復(fù)。Wiener函數(shù)提供了適應(yīng)于圖像處理的維納濾波器，當(dāng)圖像變化較大時(shí)，濾波后的效果較差，變化較小時(shí)，恢復(fù)函數(shù)圖像的效果較為細(xì)膩，光滑。維納濾波作為含噪波形估計(jì)中的最佳濾波，比一般的線性濾波器效果都好，不僅保留了圖像的邊緣部分和高頻部分，而且尤其是對(duì)于處理高斯白噪聲具有最佳效果，當(dāng)然這無(wú)形中也增加了計(jì)算量。由于wiener函數(shù)只能對(duì)灰度圖進(jìn)行含噪恢復(fù)，而不能對(duì)真彩圖進(jìn)行濾波操作。此處又使用了既可對(duì)真彩圖操作，又可實(shí)現(xiàn)多種不同噪聲干擾、污染的函數(shù)deconvwnr。該函數(shù)利用了維納濾波器對(duì)含噪圖像進(jìn)行恢復(fù)，從其函數(shù)名就可看出是維納去卷積的意思。 我們要進(jìn)行圖像復(fù)原，首先要將插入圖片變?yōu)榛叶葓D像，根據(jù)運(yùn)行代碼，： 彩色圖像 灰度圖將灰度圖像作為圖像恢復(fù)的原始圖像。根據(jù)圖像的退化模型可知，原圖像退化成模糊圖像與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)有關(guān)，圖像復(fù)原的過(guò)程，就是根據(jù)退化模型及原圖像的某些知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)恢復(fù)系統(tǒng)p（x，y），以退化圖像g（x，y）作為輸入，經(jīng)過(guò)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF），使該系統(tǒng)輸出的恢復(fù)圖像為，按某種準(zhǔn)則最接近原圖像f（x，y）。當(dāng)PSF為已知時(shí)。在MATLAB圖像處理工具箱中，使用deconvwnr函數(shù)來(lái)進(jìn)行維娜濾波器圖像復(fù)原。Deconvwnr函數(shù)的常見(jiàn)調(diào)用方法如下：1）當(dāng)輸入圖像為無(wú)噪聲時(shí)，輸入仿真程序(見(jiàn)附錄)： 采用真實(shí)PSF復(fù)原的圖像在圖像復(fù)原過(guò)程中，如果采用真實(shí)的PSF進(jìn)行圖像復(fù)原。復(fù)原的效果還是可以的，在這個(gè)圖像復(fù)原過(guò)程中，還沒(méi)有受到噪聲的影響，而在實(shí)際過(guò)程中，圖像往往是有噪聲的。2）根據(jù)圖像退化模型，圖像f（x，y）通過(guò)一個(gè)退化系統(tǒng)H并且在一個(gè)加性噪聲n（x，y）的聯(lián)合作用下，產(chǎn)生一幅退化圖像。這里的n（x，y）為一種統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的信息。： 有噪聲恢復(fù)圖像 通過(guò)對(duì)比可以看出，在采用了真實(shí)的PSF進(jìn)行圖像復(fù)原條件下，圖像由于運(yùn)動(dòng)引起的模糊復(fù)原的不是很好，對(duì)噪聲的抑制效果卻很差，為了改善圖像復(fù)原的效果，需要對(duì)圖像的噪聲進(jìn)行估計(jì)或者利用噪聲和圖像的相關(guān)信息。3）利用調(diào)用函數(shù)J=deconvwnr（I,PSF,NSR）中的NSR是信噪功率比，NSR可以是標(biāo)量，或者是和圖像I一樣大小尺寸的數(shù)組，： NSR模糊圖像 NSR恢復(fù)圖像4）調(diào)用函數(shù)J=deconvwnr（I,PSF,NCORR,ICORR）中的NCORR和ICORR分別是噪聲