線性代數(shù)知識點總結(jié)(編輯修改稿)
2025-07-25 21:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 矩陣不滿足交換律，即，（但也有例外）（課本P36）純量陣 矩陣稱為純量陣，作用是將圖形放大倍。且有，A為n階方陣時，有，表明純量陣與任何同階方陣都是可交換的。（課本P36）轉(zhuǎn)置矩陣 把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作，如。轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)；；；。（課本P39）方陣的行列式 由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或（記住這個符號）注意 矩陣與行列式是兩個不同的概念，n階矩陣是n2個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而n階行列式則是這些數(shù)按一定的運算法則所確定的一個數(shù)。運算性質(zhì)；；（課本P40）對稱陣 設(shè)A為n 階方陣，如果滿足A=AT ，即那么A稱為對稱陣。說明 對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等，如果則稱矩陣為反對稱的。即反對稱矩陣A=（aij）中的元素滿足aij＝－aji，i，j=1，2，…n伴隨矩陣 行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣。性質(zhì) （易忘知識點）（課本P41）共軛矩陣 （略）（課本P42）總結(jié) （1）只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算。（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律。（3）矩陣的數(shù)乘運算與行列式的數(shù)乘運算不同。第三節(jié) 逆矩陣定義 對于n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B,使得AB＝BA＝E則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。說明 1 A ，B互為逆陣， A = B12 只對方陣定義逆陣。，則A的逆矩陣是唯一的。定理1 矩陣A可逆的充分必要條件是，并且當(dāng)A可逆時，有（重要）（證明見課本P43）奇異矩陣與非奇異矩陣 當(dāng)時，稱為奇異矩陣，當(dāng)時，稱為非奇異矩陣。即。推論 若，則（證明見課本P43）求逆矩陣方法 逆矩陣的運算性質(zhì)。（以上證明見課本P43）。方陣的多項式 設(shè)為的次多項式，A為n階矩陣，記稱為矩陣A的次多項式。（課本P46）注意 矩陣A的任意兩個多項式j(luò)(A)與f(A)可交換，即，矩陣A多項式可以像x的多項式一樣相乘或因式分解。矩陣多項式的計算，則（重要）總結(jié) 逆矩陣的計算方法；；第四節(jié) 矩陣分塊法矩陣分塊 將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。分塊的目的是為了簡化運算。分塊矩陣的運算規(guī)則加法 A與B同型，且A、B的分塊方法相同，則A與B的和定義為對應(yīng)子塊相加。數(shù)乘 。 轉(zhuǎn)置 。乘法 首先AB有意義，其次A的列的分法與B的行的分法相同。結(jié)論 分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運算性質(zhì)類似。分塊對角陣（準(zhǔn)對角矩陣）設(shè)A為n階矩陣，若A的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方陣，即，則有：。，（diag（A）表示對角陣A）（課本P50）有用的結(jié)論線性方程組的分塊表示線性方程組，其中A為系數(shù)矩陣，x稱為未知數(shù)向量，b稱為常數(shù)向量，B稱為增廣矩陣。增廣矩陣可以分塊表示為：第三章 矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié) 矩陣的初等變換初等行變換 。初等列變換：把初等行變換中的行變?yōu)榱校礊槌醯攘凶儞Q，所用記號是把“r”換成“c”。擴展 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換，初等變換的逆變換仍為初等變換, 且類型相同。矩陣等價 等價關(guān)系的性質(zhì)（1）反身性 A~A（課本P59）行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零，每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）
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