【文章內(nèi)容簡介】 cher Black和Myron Scholes建立了看漲期權(quán)定價(jià)公式 ()和公式比較，這里用無風(fēng)險(xiǎn)利率代替了，創(chuàng)新之處在于不依賴于投資人的偏好，因此他們獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。 BlackScholes方程 基本假設(shè): (1).原生資產(chǎn)價(jià)格演化遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng) () (2).無風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)且對(duì)所有到期日都相同。 (3).原生資產(chǎn)不支持股息。 (4).不支付交易費(fèi)和稅收。 (5).不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。 (6).允許使用全部所得賣空衍生證券。 (7).證券交易是連續(xù)的。 (8).在衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付。 ：BlackScholes方程為。 證明：設(shè)是歐式看漲期權(quán)價(jià)格，它在期權(quán)的到期日時(shí)，這里是期權(quán)的敲定價(jià)，現(xiàn)在要求期權(quán)在有效時(shí)間內(nèi)的價(jià)值。 利用對(duì)沖技巧，我們給出歐式期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型。 形成投資組合，(是原生資產(chǎn)的份額)，選取適當(dāng)?shù)氖沟迷跁r(shí)段內(nèi)，是無風(fēng)險(xiǎn)的。 設(shè)在時(shí)刻形成投資組合，并在時(shí)間段內(nèi)，不改變份額。那么由于是無風(fēng)險(xiǎn)的，因此在時(shí)刻，投資組合的回報(bào)是即 ()由于，其中是由隨機(jī)微分方程()確定的方程，因此有Ito公式.把它代入式()得. ()由于等式右端是無風(fēng)險(xiǎn)的，由此等式左端隨機(jī)項(xiàng)的系數(shù)必為0，即選取 ()把它帶入式()，并消去得到這就是刻畫歐式看漲期權(quán)價(jià)格變化的偏微分方程——BlackScholes方程。 BlackScholes公式(歐式看漲期權(quán)的定價(jià)) ：BlackScholes公式為。 證明：為了確定在合約有效期內(nèi)[0,T]內(nèi)期權(quán)的價(jià)值，就是要在區(qū)域上求解定解問題： () ()作自變數(shù)代換 ()定解問題()()轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程Cauchy問題(初值問題)： () () 求解：做函數(shù)變換： ()因?yàn)榇?).取，.則()變?yōu)? ()相應(yīng)的初始值為： ()令 其中為初值，為方程()的基本解。則 () ()表示為 通過以上的變換可以得到：，其中令，則，令，則 . 同理得 .由變換()回到原變量有令 () ()得到歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為 ()： ()這就是BlackScholes公式。 二項(xiàng)式模型和BlackScholes的模型的關(guān)系 介紹這兩個(gè)模型之間的關(guān)系，也就是介紹他們之間參數(shù)的關(guān)系。 對(duì)應(yīng)與時(shí)間間隔內(nèi)股票價(jià)格變化的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，參數(shù)，和必須給出相應(yīng)的正確值。由于處于風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，所以股票的期望收益是無風(fēng)險(xiǎn)利率。因此在時(shí)間間隔段末的股票期望值為，其中為該時(shí)間間隔段初始股票價(jià)格，因此： () ()在一個(gè)小時(shí)間段內(nèi)股票價(jià)格的方差是，則即 ()Cox，Ross和Rubinstein用的第三個(gè)常用的條件是：，則通過以上的式子可得出： ()其中 因此，只要估計(jì)出股票回報(bào)率的波動(dòng)度，就可以求出與之相匹配的二項(xiàng)式模型中的，和[7][8].5 歐式期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法 在以上兩章內(nèi)容中重點(diǎn)介紹了歐式期權(quán)定價(jià)的兩種模型以及兩種模型之間的關(guān)系，但是在實(shí)際應(yīng)用中我們掌握這兩種模型是不夠的，他們都只是給出了歐式期權(quán)的顯式解，而其他期權(quán)諸如美式期權(quán)的定價(jià)沒有顯式解，所以接下的這一章內(nèi)容將介紹期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法，當(dāng)然對(duì)歐式期權(quán)定價(jià)同樣適用。這章介紹的的數(shù)值方法分別是二叉樹圖方法和有限差分法。 二項(xiàng)式模型的數(shù)值計(jì)算 二叉樹圖方法 利用單步和兩步二叉樹圖模型去說明二項(xiàng)式模型是如何對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行估值不太符合現(xiàn)實(shí)，所以只能用來說明概念，現(xiàn)實(shí)的模型就是假設(shè)股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的。 使用二叉樹圖模型時(shí)的股票價(jià)格完整數(shù)圖如圖3所示。時(shí)間為零時(shí)，已知股票的價(jià)格為；時(shí)間為時(shí)，股票價(jià)格按照上升比例和下降比例出現(xiàn)兩種可能：和，以此類推，在一般情況下，時(shí)刻，股票價(jià)格有種可能，它們是， 期權(quán)的計(jì)算是從數(shù)圖的末端(時(shí)刻T)開始向后倒退進(jìn)行的，即T時(shí)刻的期權(quán)已知。而前面各個(gè)時(shí)刻的期權(quán)價(jià)格均可以通過，和的值推導(dǎo)出來，這樣我們就能求出零時(shí)刻的期權(quán)值。圖3 二叉樹圖模型時(shí)的股票價(jià)格完整數(shù)圖 實(shí)例分析 ：2009年10月18日，模擬交易參與者小王認(rèn)為某只3期股票會(huì)上漲，于是決定買看漲期權(quán)，該股票現(xiàn)在市場價(jià)格為100元，執(zhí)行價(jià)為105元，股票的價(jià)格一期只發(fā)生兩個(gè)變動(dòng)，一個(gè)是上漲到110元，一個(gè)是下降到90元，市場的無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，求該期權(quán)當(dāng)期的理論價(jià)格是多少？我們首先構(gòu)造一個(gè)既可以反映三期的股票價(jià)格又可以反映三期()的期權(quán)價(jià)格的二叉樹圖(如圖4)。圖4 三期的股票和三期的期權(quán)價(jià)格二叉樹圖解：由題意得 因?yàn)樵撈跈?quán)是看漲期權(quán)，所以當(dāng)T=3時(shí)期權(quán)價(jià)格， 由此可求得，。 由公式()得當(dāng)時(shí)。 同理得 ，。 所以得到當(dāng)期期權(quán)價(jià)格為。 現(xiàn)在用C語言表示這個(gè)過程(程序見附錄) 運(yùn)行程序出現(xiàn)：圖5 C語言程序運(yùn)行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)：圖6 輸入上述要求的值 得出結(jié)果：圖7 程序運(yùn)行之后各時(shí)刻期權(quán)的價(jià)格 這個(gè)程序不僅僅是解這道題，程序中的期權(quán)到期時(shí)間，股票零時(shí)刻價(jià)格，利率，股票價(jià)格上升比例，股票價(jià)格下降比例，最后期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，自己可以針對(duì)任何題目輸入相關(guān)數(shù)值得出當(dāng)期的期權(quán)價(jià)格。 ，股票價(jià)格下降比例，但是在實(shí)際中我們能夠估計(jì)的更多是波動(dòng)率，所以我們來介紹當(dāng)只知道時(shí)期權(quán)的計(jì)算。 ：考慮一個(gè)不付紅利股票的5個(gè)月期歐式看跌期權(quán)，股票價(jià)格為50元，執(zhí)行價(jià)格為50，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年10%,波動(dòng)率為每年40%，為構(gòu)造一個(gè)二叉樹，我們把期權(quán)的有效期分為十個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段長度為半個(gè)月，(=)，則，求期權(quán)的現(xiàn)值是多少？ 解：由于期數(shù)較大，手工計(jì)算會(huì)比較麻煩，編寫C語言程序去實(shí)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果(程序見附錄)[9][10]： 運(yùn)行程序出現(xiàn)：圖8 C語言程序運(yùn)行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)：圖9 輸入上述要求的值 得出結(jié)果：圖10 程序運(yùn)行之后各時(shí)刻期權(quán)的價(jià)格由圖可讀出期權(quán)的價(jià)格為。 在取不同的值時(shí)，期權(quán)現(xiàn)值會(huì)有所不同，運(yùn)行結(jié)果如下。表1 取不同值時(shí)，期權(quán)的現(xiàn)值3510 從以上表格中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取得越大，離期權(quán)到期日越短，在其他參數(shù)一樣的條件下，離到期日越短的期權(quán)，價(jià)值越小。 BlackScholes公式(歐式期權(quán)定價(jià))的數(shù)值計(jì)算 有限差分方法 求解衍生證券所滿足的微分方程，可以用有限差分方法，它的方法就是把微分方程轉(zhuǎn)化為一系列的差分方程，然后再用迭代法求解這些差分方程。為了說明這種方法，我們考慮用它來估算一個(gè)不付紅利股票的歐式看跌期權(quán)。 步驟如下： 步驟1：首先確定該期權(quán)滿足的微分方程： () 步驟2：假定期權(quán)的期限為，將這一期限分成個(gè)等間隔，長度為的時(shí)間區(qū)間?？紤]個(gè)時(shí)間點(diǎn)步驟3：假定為股票的最高價(jià)格。定義并同時(shí)考慮個(gè)股票價(jià)格因此，選取的股票價(jià)格和時(shí)間構(gòu)成了一個(gè)共有個(gè)點(diǎn)的網(wǎng)格。網(wǎng)格上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于時(shí)間為，股票價(jià)格為。用變量代表點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格。 步驟4：運(yùn)用有限差分方法中的內(nèi)含差分方法對(duì)上述偏微分方程進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于網(wǎng)格內(nèi)部的點(diǎn)，可被近似為 ()或 ()被稱為向前差分近似(forward difference approximation)；或稱為向后差分近似(backward difference approximation).將以上兩種差分方程平均，我們可以得出一個(gè)對(duì)稱的差分方程 ()對(duì)于，采用向前差分近似使得時(shí)刻的價(jià)格與的價(jià)格發(fā)生關(guān)聯(lián) ()在點(diǎn)的向后差分近似 在點(diǎn)，對(duì)的有限差分近似為 () 步驟5：將上面多式結(jié)合，且，得 ()其中 ，經(jīng)過合并得： () ()時(shí)刻看跌期權(quán)的價(jià)值為，其中為時(shí)刻的股票價(jià)格，因此： ()當(dāng)股票價(jià)格為零時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)值為，因此： ()當(dāng)股票價(jià)格趨于無窮大時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)值是趨于零。因此用近似值 ()()()和()式定義了三個(gè)邊界(即和)的看跌期權(quán)值，還需用()式來求出左邊界的值，其中的一個(gè)格點(diǎn)就是我們所要求的期權(quán)值。利用()和邊界條件，可以寫出時(shí)刻的個(gè)聯(lián)立方程： ()且 因此解出每個(gè)的值，依次類推，最后可計(jì)算出，當(dāng)?shù)扔诔跏假Y產(chǎn)價(jià)格時(shí)，該格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是所要求的期權(quán)價(jià)值。 對(duì)內(nèi)含有限差分方法略加修改，使用外推外推有限差分方法假設(shè)點(diǎn)處的和與處的對(duì)應(yīng)值相等，即 () ()相應(yīng)的差分方程修改為： ()其中