【文章內(nèi)容簡介】 cher Black和Myron Scholes建立了看漲期權(quán)定價公式 ()和公式比較，這里用無風險利率代替了，創(chuàng)新之處在于不依賴于投資人的偏好，因此他們獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎。 BlackScholes方程 基本假設(shè): (1).原生資產(chǎn)價格演化遵循幾何Brown運動 () (2).無風險利率是常數(shù)且對所有到期日都相同。 (3).原生資產(chǎn)不支持股息。 (4).不支付交易費和稅收。 (5).不存在無風險套利機會。 (6).允許使用全部所得賣空衍生證券。 (7).證券交易是連續(xù)的。 (8).在衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付。 ：BlackScholes方程為。 證明：設(shè)是歐式看漲期權(quán)價格，它在期權(quán)的到期日時，這里是期權(quán)的敲定價，現(xiàn)在要求期權(quán)在有效時間內(nèi)的價值。 利用對沖技巧，我們給出歐式期權(quán)定價的數(shù)學模型。 形成投資組合，(是原生資產(chǎn)的份額)，選取適當?shù)氖沟迷跁r段內(nèi)，是無風險的。 設(shè)在時刻形成投資組合，并在時間段內(nèi)，不改變份額。那么由于是無風險的，因此在時刻，投資組合的回報是即 ()由于，其中是由隨機微分方程()確定的方程，因此有Ito公式.把它代入式()得. ()由于等式右端是無風險的，由此等式左端隨機項的系數(shù)必為0，即選取 ()把它帶入式()，并消去得到這就是刻畫歐式看漲期權(quán)價格變化的偏微分方程——BlackScholes方程。 BlackScholes公式(歐式看漲期權(quán)的定價) ：BlackScholes公式為。 證明：為了確定在合約有效期內(nèi)[0,T]內(nèi)期權(quán)的價值，就是要在區(qū)域上求解定解問題： () ()作自變數(shù)代換 ()定解問題()()轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程Cauchy問題(初值問題)： () () 求解：做函數(shù)變換： ()因為代入().取，.則()變?yōu)? ()相應的初始值為： ()令 其中為初值，為方程()的基本解。則 () ()表示為 通過以上的變換可以得到：，其中令，則，令，則 . 同理得 .由變換()回到原變量有令 () ()得到歐式看漲期權(quán)的定價公式為 ()： ()這就是BlackScholes公式。 二項式模型和BlackScholes的模型的關(guān)系 介紹這兩個模型之間的關(guān)系，也就是介紹他們之間參數(shù)的關(guān)系。 對應與時間間隔內(nèi)股票價格變化的均值和標準差，參數(shù)，和必須給出相應的正確值。由于處于風險中性的世界中，所以股票的期望收益是無風險利率。因此在時間間隔段末的股票期望值為，其中為該時間間隔段初始股票價格，因此： () ()在一個小時間段內(nèi)股票價格的方差是，則即 ()Cox，Ross和Rubinstein用的第三個常用的條件是：，則通過以上的式子可得出： ()其中 因此，只要估計出股票回報率的波動度，就可以求出與之相匹配的二項式模型中的，和[7][8].5 歐式期權(quán)定價的數(shù)值方法 在以上兩章內(nèi)容中重點介紹了歐式期權(quán)定價的兩種模型以及兩種模型之間的關(guān)系，但是在實際應用中我們掌握這兩種模型是不夠的，他們都只是給出了歐式期權(quán)的顯式解，而其他期權(quán)諸如美式期權(quán)的定價沒有顯式解，所以接下的這一章內(nèi)容將介紹期權(quán)定價的數(shù)值方法，當然對歐式期權(quán)定價同樣適用。這章介紹的的數(shù)值方法分別是二叉樹圖方法和有限差分法。 二項式模型的數(shù)值計算 二叉樹圖方法 利用單步和兩步二叉樹圖模型去說明二項式模型是如何對歐式期權(quán)進行估值不太符合現(xiàn)實，所以只能用來說明概念，現(xiàn)實的模型就是假設(shè)股票價格的運動是由大量的小幅度二值運動構(gòu)成的。 使用二叉樹圖模型時的股票價格完整數(shù)圖如圖3所示。時間為零時，已知股票的價格為；時間為時，股票價格按照上升比例和下降比例出現(xiàn)兩種可能：和，以此類推，在一般情況下，時刻，股票價格有種可能，它們是， 期權(quán)的計算是從數(shù)圖的末端(時刻T)開始向后倒退進行的，即T時刻的期權(quán)已知。而前面各個時刻的期權(quán)價格均可以通過，和的值推導出來，這樣我們就能求出零時刻的期權(quán)值。圖3 二叉樹圖模型時的股票價格完整數(shù)圖 實例分析 ：2009年10月18日，模擬交易參與者小王認為某只3期股票會上漲，于是決定買看漲期權(quán)，該股票現(xiàn)在市場價格為100元，執(zhí)行價為105元，股票的價格一期只發(fā)生兩個變動，一個是上漲到110元，一個是下降到90元，市場的無風險利率為5%，求該期權(quán)當期的理論價格是多少？我們首先構(gòu)造一個既可以反映三期的股票價格又可以反映三期()的期權(quán)價格的二叉樹圖(如圖4)。圖4 三期的股票和三期的期權(quán)價格二叉樹圖解：由題意得 因為該期權(quán)是看漲期權(quán)，所以當T=3時期權(quán)價格， 由此可求得，。 由公式()得當時。 同理得 ，。 所以得到當期期權(quán)價格為。 現(xiàn)在用C語言表示這個過程(程序見附錄) 運行程序出現(xiàn)：圖5 C語言程序運行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)：圖6 輸入上述要求的值 得出結(jié)果：圖7 程序運行之后各時刻期權(quán)的價格 這個程序不僅僅是解這道題，程序中的期權(quán)到期時間，股票零時刻價格，利率，股票價格上升比例，股票價格下降比例，最后期權(quán)執(zhí)行價格，自己可以針對任何題目輸入相關(guān)數(shù)值得出當期的期權(quán)價格。 ，股票價格下降比例，但是在實際中我們能夠估計的更多是波動率，所以我們來介紹當只知道時期權(quán)的計算。 ：考慮一個不付紅利股票的5個月期歐式看跌期權(quán)，股票價格為50元，執(zhí)行價格為50，無風險利率為每年10%,波動率為每年40%，為構(gòu)造一個二叉樹，我們把期權(quán)的有效期分為十個時間段，每個時間段長度為半個月，(=)，則，求期權(quán)的現(xiàn)值是多少？ 解：由于期數(shù)較大，手工計算會比較麻煩，編寫C語言程序去實現(xiàn)這個結(jié)果(程序見附錄)[9][10]： 運行程序出現(xiàn)：圖8 C語言程序運行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)：圖9 輸入上述要求的值 得出結(jié)果：圖10 程序運行之后各時刻期權(quán)的價格由圖可讀出期權(quán)的價格為。 在取不同的值時，期權(quán)現(xiàn)值會有所不同，運行結(jié)果如下。表1 取不同值時，期權(quán)的現(xiàn)值3510 從以上表格中可以發(fā)現(xiàn)，當取得越大，離期權(quán)到期日越短，在其他參數(shù)一樣的條件下，離到期日越短的期權(quán)，價值越小。 BlackScholes公式(歐式期權(quán)定價)的數(shù)值計算 有限差分方法 求解衍生證券所滿足的微分方程，可以用有限差分方法，它的方法就是把微分方程轉(zhuǎn)化為一系列的差分方程，然后再用迭代法求解這些差分方程。為了說明這種方法，我們考慮用它來估算一個不付紅利股票的歐式看跌期權(quán)。 步驟如下： 步驟1：首先確定該期權(quán)滿足的微分方程： () 步驟2：假定期權(quán)的期限為，將這一期限分成個等間隔，長度為的時間區(qū)間?？紤]個時間點步驟3：假定為股票的最高價格。定義并同時考慮個股票價格因此，選取的股票價格和時間構(gòu)成了一個共有個點的網(wǎng)格。網(wǎng)格上的點對應于時間為，股票價格為。用變量代表點的期權(quán)價格。 步驟4：運用有限差分方法中的內(nèi)含差分方法對上述偏微分方程進行計算，對于網(wǎng)格內(nèi)部的點，可被近似為 ()或 ()被稱為向前差分近似(forward difference approximation)；或稱為向后差分近似(backward difference approximation).將以上兩種差分方程平均，我們可以得出一個對稱的差分方程 ()對于，采用向前差分近似使得時刻的價格與的價格發(fā)生關(guān)聯(lián) ()在點的向后差分近似 在點，對的有限差分近似為 () 步驟5：將上面多式結(jié)合，且，得 ()其中 ，經(jīng)過合并得： () ()時刻看跌期權(quán)的價值為，其中為時刻的股票價格，因此： ()當股票價格為零時，看跌期權(quán)的價值為，因此： ()當股票價格趨于無窮大時，看跌期權(quán)的價值是趨于零。因此用近似值 ()()()和()式定義了三個邊界(即和)的看跌期權(quán)值，還需用()式來求出左邊界的值，其中的一個格點就是我們所要求的期權(quán)值。利用()和邊界條件，可以寫出時刻的個聯(lián)立方程： ()且 因此解出每個的值，依次類推，最后可計算出，當?shù)扔诔跏假Y產(chǎn)價格時，該格點對應的就是所要求的期權(quán)價值。 對內(nèi)含有限差分方法略加修改，使用外推外推有限差分方法假設(shè)點處的和與處的對應值相等，即 () ()相應的差分方程修改為： ()其中