【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2：阻帶波紋 :通帶內(nèi)所允許的最大衰減 (dB) :阻帶內(nèi)允許的最小衰減 (dB) () () 一般要求： 當(dāng) 時(shí)， （ ） 當(dāng) （ ） 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述 IIR 濾波器和 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)方法很不相同， IIR 濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類： (1) 借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法 進(jìn)行的。其設(shè) 計(jì)思路是：先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù) Ha(S)，然后 Ha(S)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(Z)。這一類方法是基于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法相對(duì)比較成熟，它不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，也有完整的圖表供查閱。更可以直接調(diào)用 MATLAB 中的對(duì)應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。 (2)直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行設(shè)計(jì)的，設(shè)計(jì)時(shí)必須用計(jì)算機(jī)作輔助設(shè) 計(jì)，直接調(diào)用 MATLAB 中的一些程序或者函數(shù)可以很方便的設(shè)計(jì)出所需要的濾波器。 FIR 濾波器不能采用由模擬濾波器的設(shè)計(jì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的方法，經(jīng)常用的是窗函數(shù)法和頻率采樣法。也可以借助計(jì)算機(jī)輔 助設(shè)計(jì)軟件采用切比雪夫等波紋逼近法進(jìn)行設(shè)計(jì)。 第 3 章 有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器 在數(shù)字濾波器中， FIR 濾波器是一類結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、且總是穩(wěn)定的濾波器。嚴(yán)格講也只有 FIR 濾波器可以實(shí)現(xiàn)線性相位。從這些特點(diǎn)考慮， FIR 濾波器在實(shí)用上有許多優(yōu)點(diǎn)。本章將介紹 FIR 數(shù)字濾波器的幾種典型設(shè)計(jì)方法，并通過(guò)這些方法的設(shè)計(jì)實(shí)例相互比較 ,明確各種設(shè)計(jì)方法的特點(diǎn)。 FIR 濾波器的窗函數(shù)法設(shè)計(jì) 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本思想 數(shù)字信號(hào)處理就是在有限區(qū)間使用所觀測(cè)到的信號(hào)序列進(jìn)行各種各樣的處理。截取信號(hào)區(qū)間兩端的位置微小變化，將會(huì)導(dǎo)致結(jié) 果產(chǎn)生很大變化，這種現(xiàn)象一般在信號(hào)處理中是必須避免的。為此，不僅應(yīng)注意截取信號(hào)區(qū)間的長(zhǎng)度，而且要注意截取區(qū)間兩端不應(yīng)造成急劇的變化。 截取持續(xù)信號(hào)中部分信號(hào)的工作，可以看作是通過(guò)一個(gè)窗函數(shù)采集所看到的信號(hào)序列。這種為截取信號(hào)所使用的窗口稱為窗函數(shù) (window function)。窗函數(shù)不僅適用于離散時(shí)間信號(hào)，也適用于連續(xù)信號(hào)。 實(shí)際上，設(shè)觀測(cè)到的信號(hào)為 x(t)，窗函數(shù)為 w(t)，從窗口觀測(cè)的信號(hào)為 y(t)，則 y(t)=w(t)*x(t) () 可見(jiàn)，窗函數(shù)對(duì)于觀測(cè)信號(hào)起到一種濾波器的作用。 對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)，設(shè) x (nT)、 y(nT)、 w(nT) (n=0， 1， … ， NI)的離散傅立葉變換 (DFT)分別為 X(k)、 Y(k)、 W(k)(k=0， 1， … ， N1)，則可得到 （ ） 式中， T 為采樣周期。對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)，設(shè) x(t)、 y(t)、 w(t)的傅立葉 變換分別為 、 、 ，則 （ ） 窗函數(shù)的種類 已經(jīng)知道有很多種類函數(shù)，這里僅介紹幾種代表性的窗函數(shù)。 下面介紹幾種代表性的窗函數(shù)： 如 R= {n︱ n=0,1，．，．， N1），以及 R39。={n︱ n0， nN）等。另外，還介紹 N為奇數(shù)時(shí)， 僅將信號(hào)序列平移 (N1)/2，并設(shè)： 時(shí)的窗函數(shù)。式中 T 為采樣周期。 1) 矩形窗 (rectangular window) () () () () 圖 矩形窗的幅頻特性 2) 漢明窗 (Hamming window) () () () () 3) 漢恩窗 (hann window) () () () () 4) 布萊克曼窗 (Blackman window) () () () () 5) 道爾夫一切比雪夫窗 (DolphChebyshev window) 反復(fù)利用下式進(jìn)行計(jì)算，就可以確定道爾夫 —切比雪夫窗的系數(shù) （ ） （ ） () () () 式中，設(shè) N 為奇數(shù)，則 M=（ N1） /2。 及 分別表示 M 階切比雪夫多項(xiàng)式。并且 ? 可用下式表示： （ ） 式（ ）的 ? 是為使主瓣幅度為矩形窗的 ? 倍，即為 4? π/（ 2M+1）而引入的參數(shù)。 當(dāng)旁瓣 的最大值固定時(shí)，道爾夫 切比雪夫可使主瓣幅度為最小。另外，該 函數(shù)的特點(diǎn)是所有的旁瓣振幅都相等。 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果 采用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 數(shù)字低通濾波器。該濾波器的通帶截止頻率 4?? ?C ，單位脈沖響應(yīng) h(n)的長(zhǎng)度 M= 500。 M=500。 wc=pi/4。 n=0:M1。 r=floor((M1)/2)。 nr=nr+eps*((nr)==0)。 hdn=sin(wc*nr)/pi./nr。 if rem(M,2)~=0 hdn(r+1)=wc/pi。 end wn1=boxcar(M)。 hn1=hdn.*wn139。 subplot(2,1,1)。stem(n,hn1,39。.39。)。 line([0,20],[0,0])。 xlabel(39。n39。),ylabel(39。h(n)39。),title(39。矩形窗設(shè)計(jì)的 h(n)39。)。 %hw1=fft(hn1,512)。 w1=2*[0:511]/512。 %subplot(2,1,2), plot(w1,20*log10(abs(hw1))) [hw1,w]=freqz(hn1,1)。 subplot(2,1,2), plot(w/pi,20*log10(abs(hw1)))。 axis([0,10,10])。 xlabel(39。w/pi39。), ylabel(39。幅度 (dB)39。)。 title(39。幅度特性 (dB)39。)。 圖 M=500 時(shí)幅度和幅度特性 N=21。M=1024。 b=fir1(N,boxcar(N+1))。 h=freqz(b,1,M)。 t=0:21。subplot(211)。 stem(t,b,39。.39。)。 hold on。plot(t,zeros(1,22))。grid。 f=0::。M1=M/4。 subplot(212)。plot(f,abs(h))。grid。 圖 M=1024 時(shí)幅度和幅頻特性 FIR 濾波器的均方誤差最小準(zhǔn)則設(shè)計(jì) 為利用式 ()和式 ()設(shè)計(jì)線性相位 FIR 濾波器，當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí)，定義 () 當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)，定義 （ ） 下面說(shuō)明當(dāng) hk = ， k=0,1,2…N 1 成立時(shí)的設(shè)計(jì)過(guò)程。當(dāng)然， k=0,1,2… ， N1 成立時(shí)，設(shè)計(jì)過(guò)程也是完全相同的。 假定所希望達(dá)到的幅頻特性為 ，加權(quán)函數(shù)為 ，如將評(píng)價(jià)函數(shù)寫(xiě)成： （ ） 通過(guò)以下過(guò)程可以求出 為最小時(shí)的優(yōu)化系數(shù)。 當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí)，令 當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)，令 則 () 式中 ， T 為轉(zhuǎn)置。 進(jìn)一步令 則 如果對(duì)稱矩陣為正則矩陣，求解 （ ） 即可求得優(yōu)化系數(shù)。 另外，對(duì)區(qū)間 0≤? ≤π 進(jìn)行適當(dāng)分割，如果著眼于 (k=0,1,…,N 1)的離散點(diǎn)，則可以用 代替評(píng)價(jià)函數(shù) ，并用 （ ） 式中， K 應(yīng)選擇足夠大的數(shù)。 現(xiàn)在用 表示將 代入時(shí)的 c 值 ，并設(shè) 則可得到 （ ） 因而，因而，如果對(duì)稱矩陣 A 是正則矩陣，則可得到與式相同形式的一次聯(lián)立方程，求解該方程即可得到優(yōu)化解。 評(píng)價(jià)函數(shù)中使用了加權(quán)函數(shù)，考慮到實(shí)際計(jì)算，希望在不同區(qū)段應(yīng)為不同的 常數(shù)。例如，設(shè)低通濾波器的過(guò)渡帶為 假如過(guò)渡帶的特性是任意的，則可取 ， ， 。該方法同樣適用于評(píng)價(jià)函數(shù)。 FIR 濾波器的最大誤差最小化準(zhǔn)則設(shè)計(jì) 下面我們來(lái)討論使通帶及阻帶的波紋最大值為最小的最 大 誤差最小化評(píng) 價(jià) 準(zhǔn)則設(shè)計(jì)線性相位 FIR 濾波器的有關(guān)問(wèn)題。 設(shè)理想幅頻特性為 ,權(quán)函數(shù)為 ，誤差函數(shù)為 則評(píng)價(jià)函數(shù)為 （ ） 式中， 與式（ ）或式（ ）中所使用的函數(shù)相同。另外，設(shè)不需做幅頻特性的過(guò)渡帶中 ，用 ? 表示需對(duì)幅頻特性作評(píng)價(jià)的通帶。 當(dāng)通帶的允許波紋為 ，阻帶的允許波紋為 時(shí)，設(shè)通帶的加權(quán)為 1，阻帶的加權(quán)為 ，則可使用通帶和阻帶即在 中 、且允許波紋 時(shí)的設(shè)計(jì)方法。 交錯(cuò)點(diǎn)組原理：設(shè) X 為區(qū)間 ??ba， 上任意閉合子集，對(duì)于在 X 上給出的連續(xù) 函數(shù) 的最大誤差最小化評(píng)價(jià)條件下，如果一般化的多項(xiàng)式 P（ x）是 f（ x）的最優(yōu)近似： 也就是使誤差函數(shù)振幅的最大值 為最小的優(yōu)化近似。優(yōu)化近似的充要條件是當(dāng)誤差函數(shù)為 e(x)=f(x)P(x) 時(shí)， P(x)在 f(x)上至少存在 n+1 個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)。 由于函數(shù)系 （ k=0,1， … M）滿足哈爾條件，所以可用交錯(cuò)點(diǎn)原理求得優(yōu)化解。式中，當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí)，取 M=（ N1） /2,N 為偶數(shù)時(shí)取 M=（ N2）/2。 要利用交錯(cuò)點(diǎn)組原理決定 H（ ? ） ,就必須求出式（ ）誤差函數(shù)的絕對(duì)值為最大時(shí)的 M+2 個(gè) ? 值， ? = （ i=0,1， … ， M+1）。 假定這些 可以給出最大誤差最小化解，取誤差函數(shù)的振幅為 Q ，即可得 到 （ ） 首先考慮 N 為奇數(shù)時(shí)的情況，此時(shí) M=（ N1） /2，取： 改寫(xiě)式（ ）即可得到下面的一次聯(lián)立方程： （ ） 再考慮到函數(shù)系 （ k=0,1， … ， M）滿足哈爾條件，從式（ ）就可以唯一地決定 （ k=0,1， … ， M）以及 Q 值。 當(dāng) （ i=0,1， … ， M+1）給出最大誤差最小化解的優(yōu)化解時(shí)，則式（ ）成立，但是如果它們不是優(yōu)化解時(shí)，就沒(méi)必要求解式（ ）以得到 （ k=0,1， … ， M）。因而，只需用式（ ）求 Q 值，即可得到 （ ） （ ） 另外，當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)，此時(shí) M=（ N2） /2,如果取： 則有 （ ） 這種情況下，不需要求解式（ ），只需求解式（ ）的一次聯(lián)立方程即可。 將是（ ）與式（ ）比較可知，用 代替了 。但與 N 為奇數(shù)時(shí)完全一致， N