【文章內(nèi)容簡介】 度為止。若最終對自變量集提取r 個成分 ，偏最小二乘回歸將通過建立與 的回歸式，然后再表示為與原自變量的回歸方程式，即偏最小二乘回歸方程式。為了方便起見，不妨假定p 個因變量與m個自變量均為化變量。因變量組和自變量組的n 次標準化觀測數(shù)據(jù)陣分別記為，偏最小二乘回歸分析建模的具體步驟如下： （1）分別提取兩變量組的第一對成分，并使之相關(guān)性達最大。假設(shè)從兩組變量分別提出第一對成分為 和 ， 是自變量集的線性組合：是因變量集線性組合： 。為了回歸分析的需要，要求：① 和各自盡可能多地提取所在變量組的變異信息；② 和的相關(guān)程度達到最大。由兩組變量集的標準化觀測數(shù)據(jù)陣 和，可以計算第一對成分的得分向量，記為和：第一對成分和的協(xié)方差可用第一對成分的得分向量和的內(nèi)積來計算。故而以上兩個要求可化為數(shù)學上的條件極值問題：利用Lagrange乘數(shù)法，問題化為求單位向量和，使最大。問題的求解只須通過計算矩陣的特征值和特征向量，且的最大特征值為，相應(yīng)的單位特征向量就是所求的解，而可由計算得到。（2）建立…對的回歸及…對的回歸。假定回歸模型為其中，分別是多對一的回歸模型中的參數(shù)向量，和是殘差陣?；貧w系數(shù)向量的最小二乘估計為，稱為模型效應(yīng)負荷量。（3）用殘差陣和代替和重復以上步驟。記，則殘差陣。如果殘差陣中元素的絕對值近似為0，則認為用第一個成分建立的回歸式精度已滿足需要了，可以停止抽取成分。否則用殘差陣和代替和重復以上步驟即得：；而為第二對成分的得分向量。，分別為，的第二對成分的負荷量。這時有（4）設(shè)數(shù)據(jù)陣的軼為，則存在個成分，使得把，代入，即得個因變量的偏最小二乘回歸方程式這里滿足。（5）交叉有效性檢驗。一般情況下，偏最小二乘法并不需要選用存在的個成分來建立回歸式，而像主成分分析一樣，只選用前個成分，即可得到預測能力較好的回歸模型。對于建模所需提取的成分個數(shù)，可以通過交叉有效性檢驗來確定。每次舍去第個觀測，對余下的個觀測值用偏最小二乘回歸方法建模，并考慮抽取個成分后擬合的回歸式，然后把舍去的第個觀測點代入所擬合的回歸方程式，得到在第個觀測點上的預測值。對重復以上的驗證，即得抽取個成分時第個因變量的預測誤差平方和為 的預測誤差平方和為。另外，再采取所有的樣本點，擬合含個成分的回歸方程。這時，記第個樣本點的預測值為，則可以定義的誤差平方和為定義的誤差平方和為當達到最小值時，對應(yīng)的即為所求的成分個數(shù)。通常，總有大于，而則小于。因此，在提取成分時，總希望比值越小越好；一般可設(shè)定限制值為，即當時，增加成分有利于模型精度的提高。或者反過來說，當時，就認為增加新的成分，對減少方程的預測誤差無明顯的改善作用。為此，定義交叉有效性為，這樣，在建模的每一步計算結(jié)束前，均進行交叉有效性檢驗，如果在第h步有，則模型達到精度要求，可停止提取成分；若，表示第h 步提取的成分的邊際貢獻顯著，應(yīng)繼續(xù)第h+1步計算。 由葡萄與葡萄酒的理化指標（附件2）可知，釀酒葡萄的理化指標一共有28種，如下：1氨基酸8多酚氧化酶活力15黃酮醇22干物質(zhì)含量2蛋白質(zhì)9褐變度16總糖23果穗質(zhì)量3VC10DPPH自由基17還原糖24百粒質(zhì)量4花色苷11總酚18可溶性固形物25果梗比5酒石酸12單寧19PH值26出汁率6蘋果酸13葡萄總黃酮20可滴定酸27果皮質(zhì)量7檸檬酸14白藜蘆醇21固酸比28果皮顏色紅葡萄酒和白葡萄酒的理化指標如下：紅葡萄酒白葡萄酒1花色苷1單寧2單寧2總酚3總酚3酒總黃酮4酒總黃酮4白藜蘆醇5白藜蘆醇5DPPH半抑制體積6DPPH半抑制體積6色澤7色澤如果要討論葡萄中的28種理化指標與葡萄酒中7種或6種理化指標之間的聯(lián)系，數(shù)據(jù)是很龐大的，過程也較復雜，在此我們只討論由主成分分析法提取出來的有決定作用的幾種理化指標之間的聯(lián)系。，能得出對紅白葡萄累積貢獻率達到85%的幾種理化指標，見表11。序號紅葡萄的紅葡萄酒的白葡萄的白葡萄酒的1芳香物質(zhì)芳香物質(zhì)芳香物質(zhì)芳香物質(zhì)2氨基酸花色苷氨基酸單寧3單寧單寧單寧總酚4總酚總酚酒總黃酮5花色苷蛋白質(zhì)6蛋白質(zhì)酒石酸7酒石酸蘋果酸8蘋果酸檸檬酸9檸檬酸葡萄總黃酮10白藜蘆醇累積貢獻率85%91%85%85%表11 對紅白葡萄及紅白葡萄酒累積貢獻率達到85%及以上的幾種理化指標表同時利用主成分分析法，通過編程（附錄7：：）也可得到紅白葡萄酒累積貢獻率達到85%以上的幾種理化指標，結(jié)果見表11。同時得到的紅白葡萄酒的綜合評價值及其排序結(jié)果，見表12和表13所示。名次123456789紅葡萄酒樣品23樣品1樣品2樣品樣品8樣品3樣品1樣品22樣品17綜合評價值名次101112131415161718紅葡萄酒樣品5樣品6樣品24樣品27樣品19樣品4樣品13樣品25樣品12綜合評價值名次192021222324252627紅葡萄酒樣品20樣品10樣品14樣品16樣品7樣品26樣品15樣品18樣品11綜合評價值表12 紅葡萄酒的綜合評價值及其排序結(jié)果名次1234567白葡萄酒樣品24樣品27樣品3樣品14樣品22樣品20樣品12綜合評價值名次891011121314白葡萄酒樣品17樣品15樣品28樣品4樣品25樣品9樣品10綜合評價值名次15161718192021白葡萄酒樣品13樣品26樣品7樣品18樣品5樣品1樣品16綜合評價值名次22232425262728白葡萄酒樣品23樣品19樣品21樣品6樣品8樣品11樣品2綜合評價值表13 白葡萄酒的綜合評價值及其排序結(jié)果 下面按表11中的理化指標，利用偏最小二乘回歸分析法通過編程（附錄9：：），得知它們提出的成分個數(shù)都為2，理化指標之間的回歸方程系數(shù)矩陣分別見表1表15。芳香物質(zhì)(y1)花色苷(y2)單寧(y3)常數(shù)項芳香物質(zhì)（x1）氨基酸(x2單寧(x3)總酚(x4)花色苷(x5)蛋白質(zhì)(x6)酒石酸(x7)蘋果酸(x8)檸檬酸(x9)表14 紅葡萄與紅葡萄酒理化指標的回歸方程系數(shù)則紅葡萄與紅葡萄酒理化指標的回歸方程為芳香物質(zhì)y1單寧y2總酚y3酒總黃酮y4常數(shù)項芳香物質(zhì)(x1)x氨基酸(x2)單寧(x3)總酚(x4)蛋白質(zhì)（x5）酒石酸（x6）蘋果酸（x7）檸檬酸（x8）葡萄總黃酮（x9）白藜蘆醇x（10）表15 白葡萄與白葡萄酒理化指標的回歸方程系數(shù)則白葡萄與白葡萄酒理化指標的回歸方程為為了更直觀、迅速地觀察各個理化指標在解釋時的邊際作用，還可針對標準化數(shù)據(jù) 的回歸方程系數(shù)畫直方圖，如圖圖6所示。圖5 紅葡萄與紅葡萄酒理化指標之間的回歸方程系數(shù)直方圖圖6 白葡萄與白葡萄酒理化指標之間的回歸方程系數(shù)直方圖從上面兩圖觀察到，回歸系數(shù)大都大于零，說明在解釋回歸方程時積極作用還是很明顯的，即大多數(shù)葡萄的理化指標對葡萄酒的理化指標存在一定的聯(lián)系。只有紅葡萄的理化指標對紅葡萄酒的芳香物質(zhì)影響不太明顯。為了考察這7個回歸方程的模型精度，我們以為坐標值，對所有的樣本點繪制預測圖，如圖圖8所示，畫圖程序為附錄11()。可見在圖上的所有點都能在圖的對角線附近均勻分布，則方程的擬合值與原值差異很小，說明方程的擬合效果是令人滿意的。圖7 紅葡萄與紅葡萄酒理化指標之間的預測圖圖8 白葡萄與白葡萄酒理化指標之間的預測圖 ，第二組評酒員對紅白兩種葡萄酒的評分可信度較強，故我們把第二組的最終平均得分視為紅白葡萄酒的質(zhì)量標準。釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標還選用主成分理化指標，利用偏最小二乘回歸分析法，通過編程（附錄12：：），得出了下面回歸方程系數(shù)，見表16。紅(z)白(z)常數(shù)項常數(shù)項芳香物質(zhì)（x1）芳香物質(zhì)(y1)氨基酸(x2x氨基酸(y2)單寧(x3)單寧(y3)總酚(x4)總酚(y4)花色苷(x5)蛋白質(zhì)（y5）蛋白質(zhì)(x6)酒石酸（y6）酒石酸(x7)蘋果酸（y7）蘋果酸(x8)檸檬酸（y8）檸檬酸(x9)葡萄總黃酮（y9）芳香物質(zhì)(x10)白藜蘆醇（y10）花色苷(x11)芳香物質(zhì)（y11）單寧(x12)單寧（y12）總酚（y13）酒總黃酮（y14）表16 紅白兩種總的理化指標對酒質(zhì)量的回歸方程系數(shù)則紅白兩種總的主成分理化指標對酒質(zhì)量的回歸方程，即影響關(guān)系式分別為為了進一步分析其影響程度，還可對標準化數(shù)據(jù)的回歸方程系數(shù)畫出直方圖，對所有的樣本點繪制預測圖（附錄11：），如圖9和圖10所示。圖9 關(guān)于紅葡萄和紅葡萄酒的回歸系數(shù)直方圖和預測圖圖10 關(guān)于紅葡萄和紅葡萄酒的回歸系數(shù)直方圖和預測圖從兩預測圖上，可見所有點都能在圖的對角線附近均勻分布，則方程的擬合值與原值差異很小，說明方程的擬合效果是令人滿意的。從兩個直方圖觀察到，正負柱形均存在，且相對長的要多，不過正的個數(shù)大于負的個數(shù)，說明對葡萄酒的質(zhì)量確實是存在影響的。所以理化指標在葡萄或葡萄酒中含量多少，會決定著葡萄酒的質(zhì)量，能用它們來評價葡萄酒的質(zhì)量。5 模型的分析與推廣對于問題1，我們是把多名評酒員對同一種葡萄酒給出多個評分，是符合正態(tài)分布作為出發(fā)點的。符合行規(guī)，不可能專業(yè)評酒員對同一種葡萄酒的評價結(jié)果差距太大。從對平均得分和平均分方差的比較，對不同葡萄酒平均得分的排序和圖表三方面得出了兩組結(jié)果均存在明顯差異?？尚哦纫彩菑姆讲詈涂傮w分布檢驗，結(jié)合圖表得出的第二組結(jié)果更可信。在問題2中，我們首先將芳香物質(zhì)視為葡萄的理化指標。其次，通過網(wǎng)上查詢對一些重要的理化指標進行了預先排序，為后期的主成分分析法打下了基礎(chǔ)。第三，因白葡萄酒中不含有花色苷，在對白葡萄進行主成分分析時將花色苷舍去了。在后面兩問中，數(shù)據(jù)處理中采用的還是主成分理化指標，數(shù)據(jù)選取上具有代表性，是可行的。其次，用偏最小二乘回歸分析法給出了兩者理化指標之間的聯(lián)系或影響關(guān)系式，并且還結(jié)合圖示進行了分析。首先，沒有對所有的理化指標單位進行統(tǒng)一化。其次，通過主成分分析法得出的葡萄酒樣品排序，與第一問中的可信評分排序存在一定差異。第三，問題2中沒有對釀酒葡萄給出一個嚴格的分級。第四，沒有對全部理化指標進行聯(lián)系分析，取的是部分，可能會對結(jié)果造成一定程度上的不符。在全部理化指標討論上有待更新。第五，問題4中，在釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標對葡萄酒質(zhì)量的影響時，只是通過圖示進行了說明，沒有給出一個影響因子，有待優(yōu)化。并且在論證理化指標能用來評價葡萄酒的質(zhì)量問題上，也只是從影響的角度來說的，論據(jù)有待進一步補充。6 參考文獻[1]. 司守奎,《數(shù)學建模算法與應(yīng)用》， 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