基于二項(xiàng)樹給期權(quán)定價(jià)交易策略(編輯修改稿)
2025-07-24 20:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 能漲到50美元，也可能跌到32美元，無風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)率為11。我們便能分析行權(quán)價(jià)格為40美元的買入期權(quán)的合理價(jià)格。因?yàn)槿绻覀儎?chuàng)建的投資組合由x股股票和一個(gè)空倉(cāng)買入期權(quán)組成，那么對(duì)于x的某些值而言。投資組合將沒有風(fēng)險(xiǎn)：這是因?yàn)楣善眱r(jià)格上漲使所持股票的利潤(rùn)增加。但是會(huì)使空倉(cāng)買入的價(jià)值下跌．而股票價(jià)格下跌會(huì)減少所持股票的價(jià)值。但是會(huì)使空倉(cāng)買人的價(jià)值上升。因此這種投資組合必定可以產(chǎn)生無風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。股票價(jià)格在周期內(nèi)只能上漲或下跌一定幅度的模型稱為雙項(xiàng)式模型。 如果股票價(jià)格上漲或下跌，則首先計(jì)算投資組合的價(jià)值： 股票價(jià)格 投資組合價(jià)格 50美元 50x1032美元 32x10要?jiǎng)?chuàng)建無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。只需要把投資組合的價(jià)值設(shè)為與兩八股票價(jià)格相同；即。 50x10=32x 18x=10 X=5/9閃此由5/9股股票和—個(gè)空倉(cāng)買入組成的投資組合沒有風(fēng)險(xiǎn)，這種投資組合必定產(chǎn)生無險(xiǎn)利率。這意味著 一個(gè)周期的投資組合價(jià)值/(1+r)=投資組合的最初價(jià)值其中r=無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此 3．1 在買入期權(quán)定價(jià)不當(dāng)?shù)那闆r下創(chuàng)造賺錢機(jī)器 正如上述舉例為了進(jìn)一步了解中的買人價(jià)必定等于的原因，我們來證明，如果買入價(jià)是其他任何價(jià)格，我們都可以用目前投資的0美元，在時(shí)間1獲得正利潤(rùn)。在現(xiàn)實(shí)情況中，這種套利機(jī)會(huì)是決不存在的。如果目前的買人價(jià)(稱為c)小于，則買人期權(quán)“定價(jià)過低”，賣空我們的無風(fēng)險(xiǎn)投資組合可以產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)。我們將證明，如果我們購(gòu)買一個(gè)買人期權(quán)，賣空股股票，并借出一c美元，則目前有0美元的現(xiàn)金費(fèi)用，在時(shí)間1，現(xiàn)金頭寸必定為正數(shù)。表13—l顯示了這些投資產(chǎn)生的現(xiàn)金流。 表131 各種投資產(chǎn)生的現(xiàn)金流量 動(dòng)作時(shí)間0的流出量處理上升狀態(tài)時(shí)，時(shí)間1的注入量處理下跌狀態(tài)時(shí)，時(shí)間1的注入量購(gòu)買買入股權(quán)c100賣空股票接觸資金200/9c時(shí)間0 的現(xiàn)金流出量是0美元。找們選擇貸款的規(guī)模使之工作。如果股票達(dá)到50美元，那么當(dāng)且僅當(dāng)C56/9時(shí)，時(shí)間l的現(xiàn)金注入量才是正數(shù)。 如果股票價(jià)格下跌，則當(dāng)且僅當(dāng)C56/9時(shí)，時(shí)間1的現(xiàn)金注入量才是正數(shù)。因此，如果買人期權(quán)定價(jià)較低，我們就創(chuàng)造了賺錢機(jī)器!現(xiàn)在假設(shè)買人期權(quán)定價(jià)過高(c56/9)。在時(shí)間o，我們賣空買人期權(quán)，購(gòu)買的股票并借人200/9一c美元。這種投資策略產(chǎn)生所示的現(xiàn)金流。投資策略產(chǎn)生的現(xiàn)金流量動(dòng)作時(shí)間0的流出量處理上升狀態(tài)時(shí)，時(shí)間1的注入量處理下跌狀態(tài)時(shí)，時(shí)間1的注入量賣空股票c100購(gòu)買股票借入資金c200/9 時(shí)間0的現(xiàn)金流出量是0美元。我們門選擇借人量使之工作。如果股票價(jià)格上升到50美元，那么當(dāng)且僅當(dāng)C56/9時(shí)，時(shí)間l的現(xiàn)金注入量才是正數(shù)。 如果股票價(jià)格下跌，那么當(dāng)且僅當(dāng)C56/9 時(shí)，時(shí)間]的現(xiàn)金輸入量才是正教。因此．如果買入期權(quán)定價(jià)過高，我們就創(chuàng)造了賺錢機(jī)器。3．2 為什么股票的上漲率不影響買入價(jià)格 從我們的分析可知，影響期權(quán)價(jià)格的重要因素是股票價(jià)格的兩個(gè)值。價(jià)格上漲或下跌的幅度越大，買人期權(quán)就具有價(jià)值。注意，股票上漲或下跌的概率不影響期權(quán)價(jià)格。實(shí)際上，股票的平均上漲率不影響買人期權(quán)的價(jià)值。初看上去，這似乎沒什么意義。但是，如果股票價(jià)格上升的概率較大，那么由于買人期權(quán)以較高的股票價(jià)格清算，買人期權(quán)的賣出價(jià)值不應(yīng)當(dāng)更大嗎?這個(gè)難題的答案是，股票的當(dāng)前價(jià)格結(jié)合了有關(guān)股票上漲率的信息。事實(shí)上，股票價(jià)格上漲或下跌的概率包含在今天的價(jià)格中，因此它們并不影響買人期權(quán)的價(jià)值。4 使用二項(xiàng)樹給美式期權(quán)定價(jià)思路因此，我們準(zhǔn)備通過要確定期權(quán)的現(xiàn)金流，我們需要說明及早執(zhí)行的概率，通常使用二項(xiàng)樹給美式期權(quán)定價(jià)。即我們把期權(quán)的期限分成較短的時(shí)間周期(通常分成周或月)。在每個(gè)周期中，股票的價(jià)格要么上漲系數(shù)u倍，要么下跌系數(shù)d倍。我們假設(shè)d=1/u。設(shè)Δt等于二項(xiàng)樹中的周期長(zhǎng)度。每個(gè)周期上漲的概率(p)根據(jù)u和d來選擇，從而使股票或期權(quán)價(jià)格按照平均無風(fēng)險(xiǎn)利率r和年波動(dòng)率σ增長(zhǎng)。我們?cè)O(shè)q＝1一p等于在每個(gè)周期下跌的概率。要執(zhí)行風(fēng)險(xiǎn)中立評(píng)估，假設(shè)(已知股票不支付股息)相關(guān)資產(chǎn)按照對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量增長(zhǎng)，u＝無風(fēng)險(xiǎn)利率(r)。如果，是相關(guān)股票對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量的波動(dòng)率參數(shù)，則可知，通過具有以下參數(shù)的二項(xiàng)式模型，可以近似求解價(jià)格的對(duì)數(shù)正態(tài)運(yùn)動(dòng)：根據(jù)部分?jǐn)?shù)據(jù)，我們模擬股票價(jià)格或期權(quán)價(jià)格的演變。然后我們從最后一個(gè)時(shí)間周期向前逆推來評(píng)估期權(quán)的價(jià)值。在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)(股票價(jià)格和時(shí)間的結(jié)合點(diǎn))，我們從這個(gè)點(diǎn)開始通過遞歸確定期權(quán)的價(jià)值。當(dāng)我們到達(dá)目前的節(jié)點(diǎn)時(shí)，我們就得到了目前期權(quán)的近似值。注意，當(dāng)縮短時(shí)，我們的近似值將更加精確。首先，我們?cè)u(píng)估賣出期權(quán)。因?yàn)椋恢Ц豆上⒐善钡馁I人期權(quán)決不要及早執(zhí)行。我們很快可以得知，美式賣出期權(quán)可以及早執(zhí)行。工作在文件（American．Xls）中。 我們給具有如下參數(shù)的5個(gè)月賣出期權(quán)定價(jià)：當(dāng)前股票價(jià)格＝50美元行權(quán)價(jià)格＝50美元無風(fēng)險(xiǎn)利率二10％年波動(dòng)率＝40％Δt＝1個(gè)月=0．083年以上所有數(shù)據(jù)以及u、d、a、q和p的定義都被輸人到電子表格區(qū)域A1：B13中。為了便于對(duì)二項(xiàng)樹進(jìn)行說明，我們使用了區(qū)域名稱。 我們首先確定今后5個(gè)月可能的股票價(jià)格。B列包含目前(第0個(gè)月)的價(jià)格，C列包含第1個(gè)月的價(jià)格，等等。 (1)使用以下公式，在單元格B16中輸入目前的股票價(jià)格(50美元) ＝B3 (2)把以下公式從C16復(fù)制到D16；G16中，在不呈現(xiàn)下降趨勢(shì)的情況下，獲得每個(gè)月
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