基于二項(xiàng)樹給期權(quán)定價交易策略(編輯修改稿)
2025-07-24 20:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 能漲到50美元，也可能跌到32美元，無風(fēng)險利潤率為11。我們便能分析行權(quán)價格為40美元的買入期權(quán)的合理價格。因?yàn)槿绻覀儎?chuàng)建的投資組合由x股股票和一個空倉買入期權(quán)組成，那么對于x的某些值而言。投資組合將沒有風(fēng)險：這是因?yàn)楣善眱r格上漲使所持股票的利潤增加。但是會使空倉買入的價值下跌．而股票價格下跌會減少所持股票的價值。但是會使空倉買人的價值上升。因此這種投資組合必定可以產(chǎn)生無風(fēng)險利潤。股票價格在周期內(nèi)只能上漲或下跌一定幅度的模型稱為雙項(xiàng)式模型。 如果股票價格上漲或下跌，則首先計(jì)算投資組合的價值： 股票價格 投資組合價格 50美元 50x1032美元 32x10要創(chuàng)建無風(fēng)險的投資組合。只需要把投資組合的價值設(shè)為與兩八股票價格相同；即。 50x10=32x 18x=10 X=5/9閃此由5/9股股票和—個空倉買入組成的投資組合沒有風(fēng)險，這種投資組合必定產(chǎn)生無險利率。這意味著 一個周期的投資組合價值/(1+r)=投資組合的最初價值其中r=無風(fēng)險利率，因此 3．1 在買入期權(quán)定價不當(dāng)?shù)那闆r下創(chuàng)造賺錢機(jī)器 正如上述舉例為了進(jìn)一步了解中的買人價必定等于的原因，我們來證明，如果買入價是其他任何價格，我們都可以用目前投資的0美元，在時間1獲得正利潤。在現(xiàn)實(shí)情況中，這種套利機(jī)會是決不存在的。如果目前的買人價(稱為c)小于，則買人期權(quán)“定價過低”，賣空我們的無風(fēng)險投資組合可以產(chǎn)生套利機(jī)會。我們將證明，如果我們購買一個買人期權(quán)，賣空股股票，并借出一c美元，則目前有0美元的現(xiàn)金費(fèi)用，在時間1，現(xiàn)金頭寸必定為正數(shù)。表13—l顯示了這些投資產(chǎn)生的現(xiàn)金流。 表131 各種投資產(chǎn)生的現(xiàn)金流量 動作時間0的流出量處理上升狀態(tài)時，時間1的注入量處理下跌狀態(tài)時，時間1的注入量購買買入股權(quán)c100賣空股票接觸資金200/9c時間0 的現(xiàn)金流出量是0美元。找們選擇貸款的規(guī)模使之工作。如果股票達(dá)到50美元，那么當(dāng)且僅當(dāng)C56/9時，時間l的現(xiàn)金注入量才是正數(shù)。 如果股票價格下跌，則當(dāng)且僅當(dāng)C56/9時，時間1的現(xiàn)金注入量才是正數(shù)。因此，如果買人期權(quán)定價較低，我們就創(chuàng)造了賺錢機(jī)器!現(xiàn)在假設(shè)買人期權(quán)定價過高(c56/9)。在時間o，我們賣空買人期權(quán)，購買的股票并借人200/9一c美元。這種投資策略產(chǎn)生所示的現(xiàn)金流。投資策略產(chǎn)生的現(xiàn)金流量動作時間0的流出量處理上升狀態(tài)時，時間1的注入量處理下跌狀態(tài)時，時間1的注入量賣空股票c100購買股票借入資金c200/9 時間0的現(xiàn)金流出量是0美元。我們門選擇借人量使之工作。如果股票價格上升到50美元，那么當(dāng)且僅當(dāng)C56/9時，時間l的現(xiàn)金注入量才是正數(shù)。 如果股票價格下跌，那么當(dāng)且僅當(dāng)C56/9 時，時間]的現(xiàn)金輸入量才是正教。因此．如果買入期權(quán)定價過高，我們就創(chuàng)造了賺錢機(jī)器。3．2 為什么股票的上漲率不影響買入價格 從我們的分析可知，影響期權(quán)價格的重要因素是股票價格的兩個值。價格上漲或下跌的幅度越大，買人期權(quán)就具有價值。注意，股票上漲或下跌的概率不影響期權(quán)價格。實(shí)際上，股票的平均上漲率不影響買人期權(quán)的價值。初看上去，這似乎沒什么意義。但是，如果股票價格上升的概率較大，那么由于買人期權(quán)以較高的股票價格清算，買人期權(quán)的賣出價值不應(yīng)當(dāng)更大嗎?這個難題的答案是，股票的當(dāng)前價格結(jié)合了有關(guān)股票上漲率的信息。事實(shí)上，股票價格上漲或下跌的概率包含在今天的價格中，因此它們并不影響買人期權(quán)的價值。4 使用二項(xiàng)樹給美式期權(quán)定價思路因此，我們準(zhǔn)備通過要確定期權(quán)的現(xiàn)金流，我們需要說明及早執(zhí)行的概率，通常使用二項(xiàng)樹給美式期權(quán)定價。即我們把期權(quán)的期限分成較短的時間周期(通常分成周或月)。在每個周期中，股票的價格要么上漲系數(shù)u倍，要么下跌系數(shù)d倍。我們假設(shè)d=1/u。設(shè)Δt等于二項(xiàng)樹中的周期長度。每個周期上漲的概率(p)根據(jù)u和d來選擇，從而使股票或期權(quán)價格按照平均無風(fēng)險利率r和年波動率σ增長。我們設(shè)q＝1一p等于在每個周期下跌的概率。要執(zhí)行風(fēng)險中立評估，假設(shè)(已知股票不支付股息)相關(guān)資產(chǎn)按照對數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量增長，u＝無風(fēng)險利率(r)。如果，是相關(guān)股票對數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量的波動率參數(shù)，則可知，通過具有以下參數(shù)的二項(xiàng)式模型，可以近似求解價格的對數(shù)正態(tài)運(yùn)動：根據(jù)部分?jǐn)?shù)據(jù)，我們模擬股票價格或期權(quán)價格的演變。然后我們從最后一個時間周期向前逆推來評估期權(quán)的價值。在每一個節(jié)點(diǎn)(股票價格和時間的結(jié)合點(diǎn))，我們從這個點(diǎn)開始通過遞歸確定期權(quán)的價值。當(dāng)我們到達(dá)目前的節(jié)點(diǎn)時，我們就得到了目前期權(quán)的近似值。注意，當(dāng)縮短時，我們的近似值將更加精確。首先，我們評估賣出期權(quán)。因?yàn)椋恢Ц豆上⒐善钡馁I人期權(quán)決不要及早執(zhí)行。我們很快可以得知，美式賣出期權(quán)可以及早執(zhí)行。工作在文件（American．Xls）中。 我們給具有如下參數(shù)的5個月賣出期權(quán)定價：當(dāng)前股票價格＝50美元行權(quán)價格＝50美元無風(fēng)險利率二10％年波動率＝40％Δt＝1個月=0．083年以上所有數(shù)據(jù)以及u、d、a、q和p的定義都被輸人到電子表格區(qū)域A1：B13中。為了便于對二項(xiàng)樹進(jìn)行說明，我們使用了區(qū)域名稱。 我們首先確定今后5個月可能的股票價格。B列包含目前(第0個月)的價格，C列包含第1個月的價格，等等。 (1)使用以下公式，在單元格B16中輸入目前的股票價格(50美元) ＝B3 (2)把以下公式從C16復(fù)制到D16；G16中，在不呈現(xiàn)下降趨勢的情況下，獲得每個月
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