第四章抽樣理論和參數(shù)估計(jì)(編輯修改稿)
2024-07-24 15:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 里以具體數(shù)據(jù)說(shuō)明抽樣過(guò)程，想象這里的總體為無(wú)限容量）。下表列出了一種可能的抽樣情況：X1X2X3X4X5第一次抽樣學(xué)號(hào)181521325成績(jī)711009910084第二次抽樣學(xué)號(hào)1023121517成績(jī)74956610059第三次抽樣學(xué)號(hào)51522110成績(jī)55100999174………………………………………… 這里只抽取了 3 個(gè)樣本，（實(shí)際情況中總體參數(shù)往往未知）有些差異，第一個(gè)樣本顯然比總體均值大多了。如何判斷哪個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量更具有代表性（總體參數(shù)未知時(shí)），這就需要了解樣本平均數(shù)的分布規(guī)律，以便更好地對(duì)總體均值進(jìn)行估計(jì)或推斷。 從上面的例子可以看出抽樣的實(shí)質(zhì)就是對(duì)總體進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)或n次重復(fù)觀察，而每一次試驗(yàn)或觀察都是相互獨(dú)立的（有放回抽樣），即抽樣問(wèn)題就是研究 n 個(gè)“獨(dú)立同分布”的隨機(jī)變量的函數(shù)問(wèn)題。這里“獨(dú)立”是指 n 次重復(fù)試驗(yàn)互不影響，即各樣本獨(dú)立；“同分布”是這n個(gè)隨機(jī)變量都從同一總體取值。所以對(duì)于用隨機(jī)變量X表示的總體，常常用（X1，X2，……，Xn）來(lái)表示它的一個(gè)容量為 n 的樣本。注意，這里的每個(gè)Xi作為X的一次觀測(cè)值本身也是隨機(jī)變量?！ 《?、基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布 一般的隨機(jī)變量概率分布可稱(chēng)為基本隨機(jī)變量分布，但上述我們要研究的是樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。注意到，根據(jù)上述n個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量計(jì)算而來(lái)的樣本統(tǒng)計(jì)量本身也是隨機(jī)變量，則它們的概率分布就稱(chēng)為抽樣分布，即樣本統(tǒng)計(jì)量或基本隨機(jī)變量函數(shù)的理論分布。根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的不同，可區(qū)分樣本均值的抽樣分布、樣本方差的抽樣分布、樣本相關(guān)系數(shù)的抽樣分布、比例的抽樣分布等。另外，從分布形態(tài)上看，常見(jiàn)的抽樣分布主要包括是正態(tài)分布、T分布、χ2分布、F分布等，將在后文陸續(xù)介紹?！ ∪⒊闃臃植祭碚? 抽樣分布理論是整個(gè)推斷統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，對(duì)它們的證明不用理會(huì)，只需掌握這些結(jié)論及其應(yīng)用條件?！ 〖僭O(shè)某一個(gè)用隨機(jī)變量X表示的抽樣母總體的均值為μ，方差為σ2，從總體中抽取容量為 n 的樣本，則有如下結(jié)論： ?。?）一切可能樣本的平均數(shù)的均值（期望）等于母總體的均值，表示為：EX = μ （2）一切可能樣本的平均數(shù)的方差等于母總體方差的n分之一，表示為：DX = σ2/n 因此樣本均值分布的標(biāo)準(zhǔn)差等于母總體標(biāo)準(zhǔn)差的分之一，稱(chēng)其為標(biāo)準(zhǔn)誤（SE），即SE = σ/?！ 。?）一切可能樣本的方差的均值（期望）等于母總體方差的 n 分之 n1，表示為：ES2 = (n1)σ2/n 注意以上結(jié)論都沒(méi)有要求總體分布呈正態(tài)，所以對(duì)任意總體均有這些結(jié)論。 之前已經(jīng)談到中心極限定理（見(jiàn)第三章第三節(jié)），一般而言，抽樣分布有如下結(jié)論： ?。?）若母總體呈正態(tài)分布，一切可能樣本的均值分布也是正態(tài)分布，表示為：X～N(μ,σ2)，則～N(μ,σ2/n) ?。?）若母總體不呈正態(tài)分布，只要樣本容量 n 足夠大，則一切可能樣本的均值分布趨近正態(tài)分布，表示為：X～?，當(dāng) n－∞時(shí)，～N(μ,σ2/n) ?。?）若母總體服從正態(tài)分布，則一切可能樣本的方差服從χ2分布，表示為：X～N(μ,σ2)，則（n1）/σ2～χ2(n1) （4）母總體服從正態(tài)分布的兩樣本方差之比服從F分布，表示為：X1～N(μ1,σ21)，X2～N(μ2,σ22)， 則 ?。?）樣本相關(guān)系數(shù)的抽樣分布： 四、χ2分布 若n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（也稱(chēng)獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布），則這n個(gè)隨機(jī)變量的平方和∑X2i構(gòu)成一新的隨機(jī)變量，其分布規(guī)律稱(chēng)為χ2(n)分布，其中參數(shù) n 稱(chēng)為自由度，自由度不同就是另一個(gè)χ2分布，正如正態(tài)分布中均值或方差不同就是另一個(gè)正態(tài)分布一樣。χ2分布的概率密度函數(shù)比較復(fù)雜，這里不再給出。自由度 許多統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布都有自由度（degree of freedom）這個(gè)參數(shù)，所謂自由度即統(tǒng)計(jì)量中相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，這些隨機(jī)變量的取值都
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