【文章內(nèi)容簡介】 極限誤差 是 Δ，即： ? 極限誤差是根據(jù)研究對象的變異程度和分析任務(wù)的性質(zhì)來確定的在一定概率下的允許誤差范圍。 ? 參數(shù)估計的兩個要求： ? 精度：估計誤差的最大范圍，通過極限誤差來反映。顯然，Δ越小，估計的精度要求越高， Δ越大，估計的精度要求越低。極限誤差的確定要以實際需要為基本標(biāo)準(zhǔn)。 ? 可靠性：估計正確性的一個概率保證，通常稱為估計的置信度。 ????? ???465 二、總體參數(shù)的點估計 ? 點估計的含義：直接以樣本統(tǒng)計量作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計量。 ? ?222???1xPxxsn???????????????????466 優(yōu)良估計量標(biāo)準(zhǔn) ? 優(yōu)良估計標(biāo)準(zhǔn)： ? 無偏性：要求樣本統(tǒng)計量的平均數(shù)等于被估計的總體參數(shù)本身。 ? 一致性：當(dāng)樣本容量充分大時，樣本統(tǒng)計量充分靠近總體參數(shù)本身。 ? 有效性： 的樣本統(tǒng)計量。是估計是總體參數(shù)，若 ??? ?即滿足無偏性。,)?( ?? ?E1)?(lim ????? ???Pn ()? 為 任 意 小 的 正 數(shù)更有效。則稱的無偏估計量，而都是和若 12?2?21 ?,??21?????? ?? ?X ?經(jīng) 數(shù) 學(xué) 證 明 ， 是 的 無 偏 、 一 致 且 有 效 的 估 計 量 。總體方差的無偏估計量為樣本方差 22 ()1xxS n ??? ?點估計完全正確的概率通常為 0。因此，我們更多的是考慮用樣本統(tǒng)計量去估計總體參數(shù)的范圍 ? 區(qū)間估計。 467 三、參數(shù)區(qū)間估計 ? 參數(shù)區(qū)間估計的含義：估計總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并給出區(qū)間估計成立的概率值。 ? 其中： 1α(0α1)稱為置信度； α是區(qū)間估計的顯著性水平，其取值大小由實際問題確定，經(jīng)常取 1%、 5%和 10%。 12( ) 1p ? ? ? ???? ? ? ?注意對上式的理解： 例如抽取了 1000個樣本，根據(jù)每一個樣本均構(gòu)造了一個置信區(qū)間，這樣，由 1000個樣本構(gòu)造的總體參數(shù)的 1000個置信區(qū)間中，有 95%的區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值，而 5%的置信區(qū)間則沒有包含。這里， 95%這個值被稱為置信水平（或置信度）。 一般地，將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平。 468 樣本統(tǒng)計量 (點估計 ) 置信區(qū)間 置信下限 置信上限 我們用 95%的置信水平得到某班學(xué)生考試成績的置信區(qū)間為 6080分，如何理解？ 錯誤的理解： 6080區(qū)間以 95%的概率包含全班同學(xué)平均成績的真值；或以95%的概率保證全班同學(xué)平均成績的真值落在 6080分之間。 正確的理解：如果做了多次抽樣（如 100次），大概有 95次找到的區(qū)間包含真值，有 5次找到的區(qū)間不包括真值。 真值只有一個，一個特定的區(qū)間 “ 總是包含 ” 或 “ 絕對不包含 ” 該真值。但是，用概率可以知道在多次抽樣得到的區(qū)間中大概有多少個區(qū)間包含了參數(shù)的真值。 如果大家還是不能理解，那你們最好這樣回答有關(guān)區(qū)間估計的結(jié)果： 該班同學(xué)平均成績的置信區(qū)間是 6080分，置信度為 95%。 469 區(qū)間估計的基本要素 ? 包括：樣本點估計值、抽樣極限誤差、估計的可靠程度 ? 樣本點估計值 ? 抽樣極限誤差：可允許的誤差范圍。 ? 抽樣估計的可靠程度（置信度、概率保證程度）及概率度 ? 注意：本教材所進行的區(qū)間估計僅指對 總體平均數(shù)或成數(shù) 的區(qū)間估計，并且在實際計算過程中使用下面的式子。式中 Δ是極限誤差。 ( ) 1XXXp ? ????? ? ? ?進 一 步 可 以 寫 成X?????1 稱 為 置 信 度 ( 或 概 率 保 證 程 度 )稱 為 概 率 度 ( 因 為 它 與 1 密 切 相 關(guān) )?( ) 1 , ( ) 1p p X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?即Δ, 1 , 1,X X XnnXXXX?? ? ??? ? ???? ??? ? ????22 2 2當(dāng) 服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 時 , 通 常 記 z= 簡 記 為 z= 請 牢 記 該 式 .當(dāng) 服 從 t 分 布 時 , 通 常 記 t , z 與 t 通 常 也 稱 為 臨 界 值470 區(qū)間估計的內(nèi)容 ?2 已知 ?2 未知 均 值 方 差 比 例 置 信 區(qū) 間 471 平均數(shù)的區(qū)間估計 ? 對總體平均數(shù)或成數(shù)的區(qū)間估計時，使用下面的式子 (式中 Δ是極限誤差 ) ? 有兩種模式： ? 根據(jù)置信度 1α ，求出極限誤差 Δ，并指出總體平均數(shù)的估計區(qū)間。 ? 給定極限誤差，求置信度。 ( ) 1pX ??? ? ? ? ?472 ? 當(dāng) σ已知時，根據(jù)相關(guān)的抽樣分布定理， 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)。查正態(tài)分布概率表， 可得 （ 一般記為 ），則 ，根據(jù)重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣的 求法的不同，進一步可得總體平均數(shù)的估計區(qū)間： ? 重復(fù)抽樣時，區(qū)間的上下限為： ? 不重復(fù)抽樣時，區(qū)間的上下限為： 平均數(shù)區(qū)間估計 — 第 1種模式 (求置信區(qū)間 ) ( ) 1pX ??? ? ? ? ? ( ) 1XXXp ? ?????? ? ? ?XX ???/ X??( / ) 1XF ??? ? ?/2 Xz? ???X?nzX?? 2?12 ???NnNnzX??/2z?/a b s ( n o r m s in v (1 / 2 ) )XE x c e l ?????用 函 數(shù) 求 的 值[ , ]XX? ? ? ? ?的 估 計 區(qū) 間 是473 0 2 1 0 1 2 ??12/?2/?X?/?2)(?? ???Xzp????????????????1)(1)(XXXzpXpX z ??? /2/?為 什 么 記 為474 平均數(shù)區(qū)間估計 — 第 1種模式 (求置信區(qū)間 ) ? 若總體方差未知，則在計算 時，使用樣本方差代替總體方差，此時 服從自由度為 n1的 t分布。查 t分布表可得 ，并 記為 ? 于是： ? 重復(fù)抽樣時，區(qū)間的上下限為： ? 不重復(fù)抽樣時，區(qū)間的上下限為： X?XX ??? /X?? ,12 nt? ?,12 nSXtn? ??,12 1nS N nXtNn? ????( ) 1XXXp ? ?????? ? ?大樣本時， t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布非常接近，可直接從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查臨界值 ,12nt? ?/tin v ( , 1 ) XE x c e ln?????用 函 數(shù) 求 的 值475 例：總體平均數(shù)的區(qū)間估計 1 ? 對某型號的電子元件進行耐用性能檢查，抽查資料分組如下表，要求估計該批電子元件的平均耐用時數(shù)的置信區(qū)間（置信度 95%）。 耐用時數(shù) 組中值 元件數(shù) 900 以下 900 — 950 950 — 1000 1000 — 1050 1050 — 1 100 1 100 — 1 150 1 150 — 1200 1200 以上 875 925 975 1025 1075 1 12 5 1 17 5 1225 1 2 6 25 43 9 3 1 合計 — 100 1055. 5 ( )XfX f???? 小 時 2() ( )1X X fS f?????? 小 時52 .1 7 5. 21 7 ( )100XS n? ? ? ? 小 時Xz ????( ) 0 .9 5 1 .9 6F z z? ? ?1 0 5 5 .5 1 0 .2 3 1 0 4 5 .2 7X ? ? ? ? ?所 以1 0 5 5 .5 1 0 .2 3 1 0 6 5 .7 3X ? ? ? ? ?1045. 27 1065. 7395%?平 均 耐 用 時 數(shù) 在 小 時 間 ，可 靠 程 度 為 。1 .9 6 5 .2 1 7 1 0 .2 3Xz ? ? ? ???( ) 1( ) 1//XXXpXpS n S n? ???? ???? ? ???? ? ?a b s ( n o r m s in v (1 / 2 ) )E x c e l z???用 函 數(shù) 求 值t如 果 查 分 布 表 , 則 等 于 ,/Sn?注 意 求 時 查 的 是 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 表476 ? X???X???X 的 抽 樣 分 布%的樣本 pX ??? ? ? ? ?( ) 1pX? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?( ) 1可 以 寫 成p X X??? ? ? ? ? ? ? ?( ) 1也 可 以 寫 成XX? ? ? ?11 XX? ? ? ?22 XX? ? ? ?33 XX? ? ? ?44 ????1 ) 1 0 0 %表 示 有 ( 的區(qū) 間 包 含 了表示樣本均值落在 … 區(qū)間的概率是 1α，例 對總體均值區(qū)間估計的進一步理解 477 平均數(shù)區(qū)間估計 — 第 2種模式 (求置信度 ) ? 給定極限誤差，求置信度 ( ) 1pX ??? ? ? ? ?( ) ( ) 1X X XXpF? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?通過臨界值xz ?? ??2 ，去查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可得出上式的置信度是 1 α 。 478 例：總體平均數(shù)的區(qū)間估計 2 ? 例：經(jīng)抽樣調(diào)查計算樣本畝產(chǎn)糧食 600公斤，并求得抽樣平均誤差為 3公斤，現(xiàn)給定允許極限誤差為 6公斤，求置信區(qū)間包含總體平均畝產(chǎn)的概率，即求置信水平。 6 0 0 , 3 , 6XX ?? ? ? ?已 知 ：6 2,3Xz ??? ? ?簡 便 解 法 : %)2()( ?? FzFXXXXp X X p XXpXF????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????( ) ( )()()因 為 服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布所 以 上 式結(jié)果表明，如果多次反復(fù)抽樣，每次都可以由樣本值確定一個估計區(qū)間，每個區(qū)間或者包含總體參數(shù)的真值，或者不包含總體參數(shù)的真值，包含真值的區(qū)間占 F(z),即每一萬次抽樣，就有 9545個樣本區(qū)間包括總體畝產(chǎn)，其余 455個樣本區(qū)間不包括總體平均數(shù)，即若接受估計區(qū)間的判斷要冒 %的機會犯錯誤的風(fēng)險。 ( 2 ) 9 5 .4 5 %F??479 成數(shù)的區(qū)間估計 ? 由于總體的分布是（ 0， 1）分布，只有在大樣本的情況下，才服從正態(tài)分布?？傮w成數(shù)可以看成是一種特殊的平均數(shù)，類似于總體平均數(shù)的區(qū)間估計，總體成數(shù)的區(qū)間估計的上下限是： ? 注意：在實踐中，由于總體成數(shù)常常未知，這時，抽樣平均誤差公式中的總體成數(shù)用樣本成數(shù)代替。 ? 大樣本的條件： np≥5且 n(1p) ≥5，由于總體成數(shù) ρ通常未知，可以用樣本成數(shù) p來近似判斷。 Pz???? 2? ?P n??? ?? 1 ? ?PNnnN??? ? ???11480 例：總體平均數(shù)的區(qū)間估計 3 ? 對某型號的電子元件進行耐用性能檢查，抽查資料分組如下表， 設(shè)該廠的產(chǎn)品質(zhì)量檢驗標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，元件耐用時數(shù)達到 1000小時以上為合格品。要求估計該批電子元件的合格率，置信水平 95%。 耐用時數(shù) 組中值 元件數(shù) 900 以下 900 — 950 950 — 1000 1000 — 1050 1050 — 1 100 1 100 — 1 150 1 150 — 1200 1200 以上 875 925 975 1025 1075 1 12 5 1 17 5 1225 1 2 6