復變函數(shù)和積分變換學習指導(第五章)(編輯修改稿)
2025-07-24 00:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 充要條件以下條件之 一： (1) 在 的主要部分為0； (2) (3) 在的某去心領(lǐng)域內(nèi)有界。 的孤立奇點為級極點的充要條件是以下條 件之一： (1) 在 的主要部分為 (2) 在的某去心鄰域內(nèi)能表成 ，其中在的鄰域 內(nèi)解析，且 ； (3) 以為 級零點（只要令 ）?！《ɡ?的孤立奇點 為極點 的孤立奇點為本性奇點的充要條件是以下條件之 一成立： (1) 在的主要部分有無窮多項； (2) 不存在。 的奇點及類型?！〗?的奇點為 ,由于,故 為可去奇點?！ ?令 ，則 , ， 故為 的一級零點，從而為 的一級極點。又 當時，故 為 的非孤立奇點?！》治?若考慮，在內(nèi)可以展開，但利用 公式，展開整理時，比較麻煩?！〗? 附 若要求在 展開，則 ?！? 解 為 的二級極點。對于 ， 由于 ,且 ， 故以 為三級極點。 的奇點為 及 故 為 的可去奇點?！ ?又 不存在(理由與 不存在的理由相 同)，故 為 的本性奇點。？ 解 奇點為, ?！ ∮捎跒榈木埸c，故的的去心鄰域 內(nèi)不能展成Laurent級數(shù)。 內(nèi)解析，且不恒為零，若有一列異 于但卻以為聚點的零點，試證 必為 的本性奇點?！∽C 由于在內(nèi)解析,故 為的孤立奇點。若 為的可去奇點，令，則在 內(nèi)解析。又由已知 必為 的非孤立零點，根據(jù)解析函 數(shù)零點的孤立性， 在 內(nèi)必恒為零，矛盾。 若為的極點，則 ，從而 ， ，故在 內(nèi) 不可能有零點，與已知 為 的某一列零點的聚點 矛盾?！ ?綜上所述，必為的本性奇數(shù)。第2節(jié) 殘 數(shù)在解析,圍線含在的某個鄰域內(nèi)并包圍為的孤立奇點,圍線含在的某去心鄰域內(nèi)并包圍 ，則未必為0，如 設以為孤立奇點，即 在 的某去心鄰域 內(nèi)解析，則稱積分 為在點的殘數(shù)(residuce)， 記為；設為的一個孤立奇點，即在 的去心鄰域 內(nèi)解析，則稱 為 在 的殘數(shù),記為， 這里 是指順時針方向?！ ∏疫@一展式在上一致收斂，根據(jù)逐項積分以 及重要例子，有 ， 故,即為在 處的Laurent展式中這一項的系數(shù),與半徑無關(guān)； 設 在 內(nèi)的Laurent展式為 且這一展式在
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