高數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)匯總(編輯修改稿)
2024-07-23 20:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 一種方法,y = 這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。6 可微與可導(dǎo)的關(guān)系f (x)在處可微? f (x)在 處可導(dǎo)。7 求n階導(dǎo)數(shù)（n ≥ 2，正整數(shù)）先求出 y′, y′′,…… ,總結(jié)出規(guī)律性，然后寫(xiě)出y(n)，最后用歸納法證明。有一些常用的初等函數(shù)的n 階導(dǎo)數(shù)公式（1）（2）（3） ,（4） , (5),第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一 羅爾定理設(shè)函數(shù) f (x)滿足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（3） f (a) = f (b)則存在ξ ∈(a,b)，使得f ′(ξ ) = 0二 ★拉格朗日中值定理（證明不等式 P134 10）設(shè)函數(shù) f (x)滿足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則存在ξ ∈(a,b)，使得推論1．若f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f ′(x) ≡ 0，則f (x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)。推論2．若f (x) ， g(x) 在(a,b) 內(nèi)皆可導(dǎo)，且f ′(x) ≡ g′(x)，則在(a,b)內(nèi)f (x) = g(x)+ c，其中c為一個(gè)常數(shù)。三 柯西中值定理設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上皆連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)；且g′(x) ≠ 0則存在ξ ∈(a,b)使得（注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形g(x) = x 時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四 ★泰勒公式（① 估值 ② 求極限（麥克勞林） P145 T10）定理 1．（皮亞諾余項(xiàng)的n 階泰勒公式）設(shè)f (x)在0 x 處有n 階導(dǎo)數(shù)，則有公式，稱為皮亞諾余項(xiàng)對(duì)常用的初等函數(shù)如,sin x,cos x,ln(1+ x)和 （α 為實(shí)常數(shù)）等的n階泰勒公式都要熟記。定理2（拉格朗日余項(xiàng)的n 階泰勒公式）設(shè)f (x)在包含0 x 的區(qū)間(a,b)內(nèi)有n +1階導(dǎo)數(shù)，在[a,b]上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)x∈[a,b]，有公式 ，,稱為拉格朗日余項(xiàng)上面展開(kāi)式稱為以0 x 為中心的n 階泰勒公式。當(dāng)=0 時(shí)，也稱為n階麥克勞林公式。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一 基本知識(shí)設(shè)函數(shù)f (x)在處可導(dǎo)，且為f (x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則。我們稱x 滿足的 稱為的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，反之不然。極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，所以只要從
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