高數(shù)重要知識點匯總(編輯修改稿)
2025-07-23 20:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 一種方法,y = 這樣就可以直接用復合函數(shù)運算法則進行。6 可微與可導的關(guān)系f (x)在處可微? f (x)在 處可導。7 求n階導數(shù)（n ≥ 2，正整數(shù)）先求出 y′, y′′,…… ,總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出y(n)，最后用歸納法證明。有一些常用的初等函數(shù)的n 階導數(shù)公式（1）（2）（3） ,（4） , (5),第3章 微分中值定理與導數(shù)應用一 羅爾定理設函數(shù) f (x)滿足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；（3） f (a) = f (b)則存在ξ ∈(a,b)，使得f ′(ξ ) = 0二 ★拉格朗日中值定理（證明不等式 P134 10）設函數(shù) f (x)滿足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；則存在ξ ∈(a,b)，使得推論1．若f (x)在(a,b)內(nèi)可導，且f ′(x) ≡ 0，則f (x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)。推論2．若f (x) ， g(x) 在(a,b) 內(nèi)皆可導，且f ′(x) ≡ g′(x)，則在(a,b)內(nèi)f (x) = g(x)+ c，其中c為一個常數(shù)。三 柯西中值定理設函數(shù)f (x)和g(x)滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上皆連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)皆可導；且g′(x) ≠ 0則存在ξ ∈(a,b)使得（注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形g(x) = x 時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四 ★泰勒公式（① 估值 ② 求極限（麥克勞林） P145 T10）定理 1．（皮亞諾余項的n 階泰勒公式）設f (x)在0 x 處有n 階導數(shù)，則有公式，稱為皮亞諾余項對常用的初等函數(shù)如,sin x,cos x,ln(1+ x)和 （α 為實常數(shù)）等的n階泰勒公式都要熟記。定理2（拉格朗日余項的n 階泰勒公式）設f (x)在包含0 x 的區(qū)間(a,b)內(nèi)有n +1階導數(shù)，在[a,b]上有n階連續(xù)導數(shù)，則對x∈[a,b]，有公式 ，,稱為拉格朗日余項上面展開式稱為以0 x 為中心的n 階泰勒公式。當=0 時，也稱為n階麥克勞林公式。導數(shù)的應用一 基本知識設函數(shù)f (x)在處可導，且為f (x)的一個極值點，則。我們稱x 滿足的 稱為的駐點，可導函數(shù)的極值點一定是駐點，反之不然。極值點只能是駐點或不可導點，所以只要從
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