大一高數(shù)知識(shí)點(diǎn)與例題講解(編輯修改稿)
2025-08-19 14:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 化簡(jiǎn)得，即證得：當(dāng)時(shí)，【題型示例】證明不等式：當(dāng)時(shí)，【證明示例】1．（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)，則對(duì)，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，化簡(jiǎn)得，又∵，∴，∴，即證得：當(dāng)時(shí)，第二節(jié) 羅比達(dá)法則○運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟（★★）1．☆等價(jià)無窮小的替換（以簡(jiǎn)化運(yùn)算）2．判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運(yùn)用羅比達(dá)法則的三個(gè)前提條件 A．屬于兩大基本不定型（）且滿足條件， 則進(jìn)行運(yùn)算： （再進(jìn)行2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出） B．☆不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型）⑴型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式）【題型示例】求值：【求解示例】（一般地，其中）⑵型（通分構(gòu)造分式，觀察分母）【題型示例】求值：【求解示例】 ⑶型（對(duì)數(shù)求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】 ⑷型（對(duì)數(shù)求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】 ⑸型（對(duì)數(shù)求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】○運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思路（★★）⑴通分獲得分式（通常伴有等價(jià)無窮小的替換）⑵取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式）⑶取對(duì)數(shù)獲得乘積式（通過對(duì)數(shù)運(yùn)算將指數(shù)提前）第三節(jié) 泰勒中值定理（不作要求）第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性○連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）（★★★）【題型示例】試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【求解示例】1．∵函數(shù)在其定義域上連續(xù)，且可導(dǎo)∴2．令，解得：3．（三行表）極大值極小值4．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為； 單調(diào)遞減區(qū)間為【題型示例】證明：當(dāng)時(shí)，【證明示例】1．（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)，（）2．，（）∴3．既證：當(dāng)時(shí)，【題型示例】證明：當(dāng)時(shí)，【證明示例】1．（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)，（）2．，（） ∴3．既證：當(dāng)時(shí)，○連續(xù)函數(shù)凹凸性（★★★）【題型示例】試討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點(diǎn)【證明示例】 1． 2．令解得： 3．（四行表） 4．⑴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為, 單調(diào)遞增區(qū)間為,； ⑵函數(shù)的極小值在時(shí)取到，為，極大值在時(shí)取到，為； ⑶
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