大一高數(shù)知識點與例題講解(編輯修改稿)
2025-08-19 14:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 化簡得，即證得：當時，【題型示例】證明不等式：當時，【證明示例】1．（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)，則對，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，化簡得，又∵，∴，∴，即證得：當時，第二節(jié) 羅比達法則○運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（★★）1．☆等價無窮小的替換（以簡化運算）2．判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比達法則的三個前提條件 A．屬于兩大基本不定型（）且滿足條件， 則進行運算： （再進行2步驟，反復直到結果得出） B．☆不屬于兩大基本不定型（轉化為基本不定型）⑴型（轉乘為除，構造分式）【題型示例】求值：【求解示例】（一般地，其中）⑵型（通分構造分式，觀察分母）【題型示例】求值：【求解示例】 ⑶型（對數(shù)求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】 ⑷型（對數(shù)求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】 ⑸型（對數(shù)求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】○運用羅比達法則進行極限運算的基本思路（★★）⑴通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）⑵取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉化為分式形式）⑶取對數(shù)獲得乘積式（通過對數(shù)運算將指數(shù)提前）第三節(jié) 泰勒中值定理（不作要求）第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性○連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）（★★★）【題型示例】試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【求解示例】1．∵函數(shù)在其定義域上連續(xù)，且可導∴2．令，解得：3．（三行表）極大值極小值4．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為； 單調(diào)遞減區(qū)間為【題型示例】證明：當時，【證明示例】1．（構建輔助函數(shù)）設，（）2．，（）∴3．既證：當時，【題型示例】證明：當時，【證明示例】1．（構建輔助函數(shù)）設，（）2．，（） ∴3．既證：當時，○連續(xù)函數(shù)凹凸性（★★★）【題型示例】試討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點【證明示例】 1． 2．令解得： 3．（四行表） 4．⑴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為, 單調(diào)遞增區(qū)間為,； ⑵函數(shù)的極小值在時取到，為，極大值在時取到，為； ⑶
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