高考概率知識點(diǎn)與例題(編輯修改稿)
2025-05-14 13:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 抽樣的實(shí)質(zhì)分別是等距抽樣與按比例抽樣，只需按照定義，適用范圍和抽樣步驟進(jìn)行，就可得到符合條件的樣本。高考常結(jié)合應(yīng)用問題，考查構(gòu)照抽樣模型，識別圖形，搜集數(shù)據(jù)，處理材料等研究性學(xué)習(xí)的能力。例 11 （2005 年湖北湖北高考題）某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號1，2，…，270，：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（）A．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣B．②、④都不能為分層抽樣C．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣D．①、③都可能為分層抽樣考點(diǎn) 9 考查直方圖。這是統(tǒng)計(jì)的知識，不是概率的吧？例 12.（2005 江西卷）為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，則a、b的值分別為（）A．0,27,78 B．0,27,83 C．,78 D．,83方法小結(jié)：解決概率問題時(shí)，一定要根據(jù)有關(guān)概念，判斷問題是否是等可能性事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件，還是某一事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的情況，以便選擇正確的計(jì)算方法，同時(shí)注意上述各類事件的綜合問題，要全面考慮，特別是近幾年高考概率與期望的綜合，體現(xiàn)了高考對概率知識要求的進(jìn)一步提高。下面僅以幾個(gè)例題作以小結(jié)。一、用排列組合求概率例1從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)不能被3整除的概率為（）(A)19/54 (B)35/5 (C)38/54 (D)41/60分析：等可能事件的概率關(guān)鍵是利用排列組合出基本事件數(shù)。答案：B點(diǎn)評：本題將等可能事件與對立事件的概率，以及分類討論綜合在一起，體現(xiàn)了知識交匯點(diǎn)的命題精神，是高考的熱點(diǎn)。二、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率例2某廠生產(chǎn)A產(chǎn)品,每盒10只進(jìn)行包裝,每盒產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)合格后才能出廠,規(guī)定以下,從每盒10只中任意抽4只進(jìn)行檢驗(yàn),如果次品數(shù)不超過1只,就認(rèn)為合格,否則就認(rèn)為不合格,已經(jīng)知道某盒A產(chǎn)品中有2只次品 （1）求該盒產(chǎn)品被檢驗(yàn)合格的概率 （2）若對該盒產(chǎn)品分別進(jìn)行兩次檢驗(yàn),求兩次檢驗(yàn)的結(jié)果不一致的概率 分析：對一個(gè)復(fù)雜事件的概率可以分拆成幾個(gè)互斥事件的概率或者轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率。點(diǎn)評：求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，要保證兩者確是“相互獨(dú)立”事件。本例的“比賽型”題，分析比較簡單，只要結(jié)合有關(guān)比賽規(guī)則即可解決，此類題也是高考的熱點(diǎn)題。三、對立重復(fù)試驗(yàn)例3一位學(xué)生每天騎自行車上學(xué),從他家到學(xué)校有5個(gè)交通崗,假設(shè)他在交通崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的,且首末兩個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為p，其余3個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為。(1) 若p=2/3，求該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率。(2) 若該學(xué)生至多遇到一次紅燈的概率不超過5/18，求p的取值范圍。分析：首末兩個(gè)交通崗遇紅燈的概率相同，其余3個(gè)交通崗遇紅燈的概率也相同，可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。點(diǎn)評：要注意恰有k次發(fā)生和某指定的k次發(fā)生的差異。對獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來說，前者的概率為總結(jié)：概率初步的考題一般以（1）等可能事件；（2）互斥事件有一個(gè)發(fā)生；（3）相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生；（4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為載體。有的考題可能綜合多個(gè)概率題型；在等可能事件的概率計(jì)算中，關(guān)鍵有二：一是誰是一次試驗(yàn)（一次事件所含的基本事件的總數(shù)）；二是事件A所含基本事件數(shù)。當(dāng)然，所有基本事件是等可能的是前提；善于將復(fù)雜的事件分解為互斥事件的和與獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵。（三）高考數(shù)學(xué)概率中的易錯(cuò)題辨析一、概念理解不清致錯(cuò)例1．拋擲一枚均勻的骰子，若事件A：“朝上一面為奇數(shù)”，事件B：“朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過3”，求P（A+B）錯(cuò)誤解法1：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1，3，5；事件B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，∴P（A+B）=P（A）+P（B）=錯(cuò)因分析：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1，3，5；事件B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，很明顯，事件A與事件B不是互斥事件。即P（A+B）≠P（A）+P（B），所以上解是錯(cuò)誤的。實(shí)際上：正確解法為：A+B包含：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，5四種情況∴P（A+B）=錯(cuò)誤解法2：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，3，5；事件B：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，即以A、B事件中重復(fù)的點(diǎn)數(shù)3∴P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）=錯(cuò)因分析：A、B事件中重復(fù)點(diǎn)數(shù)為3，所以P（AB）=；這種錯(cuò)誤解法在于簡單地類比應(yīng)用容斥原理致錯(cuò)正確解答：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）=例2．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記 求且的概率。錯(cuò)解：記事件A：，即前8項(xiàng)中，5項(xiàng)取值1，另3項(xiàng)取值－1∴的概率記事件B：，將分為兩種情形：（1）若第2項(xiàng)取值為1，則3，4項(xiàng)的取值任意（2）若第1項(xiàng)為1，第2項(xiàng)為－1，則第3項(xiàng)必為1第四項(xiàng)任意∴P（B）=∴所求事件的概率為P=P（A）P（B）=錯(cuò)因分析：且是同一事件的兩個(gè)關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個(gè)相
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