正定二次型的性質(zhì)及應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-23 19:58 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 也正定，而=，又由性質(zhì)5知為正定矩陣性質(zhì)9 正定矩陣只能與正定矩陣合同.證明 若正定，則與單位矩陣合同，若也正定，則也與合同，即、都與單位矩陣合同，故、合同.反之，若、合同，且正定，即與單位矩陣合同，所以也與合同，故也為正定的.綜上，結(jié)論成立.性質(zhì)10 若、為正定矩陣，則也為正定矩陣.證明 因?yàn)椤檎ň仃嚕?，為正定二次型，于?也必為正定二次型，故為正定矩陣.性質(zhì)11 若是正定矩陣，則對(duì)任意的正數(shù)，也是正定矩陣.證明 因?yàn)檎?，那么?dāng)時(shí)，為實(shí)可逆矩陣，所以正定；當(dāng)時(shí)，因而與合同，有性質(zhì)7知為正定矩陣.所以無(wú)論哪種情況，都正定.性質(zhì)12 實(shí)二次型=，矩陣的主對(duì)角線上的元素都大于零.證明 因?yàn)槭钦ň仃?，于是?duì)任何， 恒有=，其中為的元素，令（行）那么證畢. 性質(zhì)13 實(shí)二次型=是正定的充分必要條件為矩陣的順序主子式全大于零.證明 ，令，有，的矩陣行列式.這就證明了矩陣的順序主子式大于零..當(dāng)時(shí)，由條件顯然有是正定的.假設(shè)充分性的判斷對(duì)于元二次型已經(jīng)成立，現(xiàn)在來(lái)證元的情形.令，于是矩陣可以分塊寫(xiě)成.既然的順序主子式全大于零，是正定矩陣，換句話說(shuō)，有可逆的級(jí)矩陣使,于是.再令，有.令，就有.兩邊取行列式，.有條件，.這就是說(shuō)，矩陣與單位矩陣合同，因之，是正定矩陣，或者說(shuō)，二次型是正定的. 根據(jù)歸納法原理，充分性得證.3 正定二次型的應(yīng)用 正定二次型在解決極值問(wèn)題中的應(yīng)用定理1 設(shè)元實(shí)函數(shù)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域中連續(xù)，且有足夠高階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)近旁有性質(zhì)：1) 若正定，則為極小點(diǎn)；2) 若負(fù)定，則為極大點(diǎn)；3) 若不定，則非極大或極小點(diǎn)；4) 其余情形時(shí)，在性質(zhì)有待研究余項(xiàng)的性質(zhì)來(lái)確定.特別當(dāng)是二次函數(shù)時(shí)，=0只要
電大資料相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1