正定二次型的性質及應用-展示頁
2025-07-05 19:58本頁面
【正文】 且有性質四知也正定，而=，又由性質5知為正定矩陣性質9 正定矩陣只能與正定矩陣合同.證明 若正定，則與單位矩陣合同，若也正定，則也與合同，即、都與單位矩陣合同，故、合同.反之，若、合同，且正定，即與單位矩陣合同，所以也與合同，故也為正定的.綜上，結論成立.性質10 若、為正定矩陣，則也為正定矩陣.證明 因為、為正定矩陣，故，為正定二次型，于是=也必為正定二次型，故為正定矩陣.性質11 若是正定矩陣，則對任意的正數，也是正定矩陣.證明 因為正定，那么當時，為實可逆矩陣，所以正定；當時，因而與合同，有性質7知為正定矩陣.所以無論哪種情況，都正定.性質12 實二次型=，矩陣的主對角線上的元素都大于零.證明 因為是正定矩陣，于是對任何， 恒有=，其中為的元素，令（行）那么證畢. 性質13 實二次型=是正定的充分必要條件為矩陣的順序主子式全大于零.證明 ，令，有，的矩陣行列式.這就證明了矩陣的順序主子式大于零..當時，由條件顯然有是正定的.假設充分性的判斷對于元二次型已經成立，現在來證元的情形.令，于是矩陣可以分塊寫成.既然的順序主子式全大于零，是正定矩陣，換句話說，有可逆的級矩陣使,于是.再令，有.令，就有.兩邊取行列式，.有條件，.這就是說，矩陣與單位矩陣合同，因之，是正定矩陣，或者說，二次型是正定的. 根據歸納法原理，充分性得證.3 正定二次型的應用 正定二次型在解決極值問題中的應用定理1 設元實函數在點的一個鄰域中連續(xù)，且有足夠高階的連續(xù)偏導數，則函數在點近旁有性質：1) 若正定，則為極小點；2) 若負定，則為極大點；3) 若不定，則非極大或極小點；4) 其余情形時，在性質有待研究余項的性質來確定.特別當是二次函數時，=0
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