第四節(jié)正定二次型-展示頁(yè)
2024-10-23 11:22本頁(yè)面
【正文】 正定，對(duì)每一個(gè) k 12( , , , )nf x x x( 1 ) ,k k n??令 18 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 順序主子式、主子式 、 () nnijA a R ???設(shè)矩陣 11 111)kkk kkaaPaa?稱為 A的第 k階 順序主子式 . 2） k 級(jí)行列式 1 1 1 2 12 1 2 2 212kkk k k ki i i i i ii i i i i iki i i i i ia a aa a aQa a a?即行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的 k階子式 稱為 A的一個(gè) k 階 主子式 . 17 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 （ 5）由于 A、 B正定，對(duì) 都有 , 0 ,nX R X? ? ?0 , 0X A X X B X????因此有 ( ) 0 .X A B X X A X X B X? ? ?? ? ? ?故， A＋ B 正定 . 當(dāng) m＝ 2k＋ 1 時(shí)， 21 ( ) ,m k k k k kA A A AA A AA? ?? ? ?即， 與正定矩陣 A合同，而 A與單位矩陣 E合同， mA所以 與 E合同，即 正定 . mA mA16 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 ，由（ 1）（ 2）即得 正定 . *1A A A ??又 *A（ 3） A正定，則存在可逆矩陣 C， 使 A C C?? ，于是 2 0A C C C?? ? ?當(dāng) m＝ 2k 時(shí)， 2 ( ) ,m k k k k kA A A A A EA?? ? ?即， 與單位矩陣 E合同，所以 正定 . mAmA（ 4）由于 A 正定，知 為 n 階可逆對(duì)稱矩陣 ， mA15 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 證： （ 1）由于 A 正定，則存在可逆矩陣 P，使 于是有， 故， 正定 . 1A?（ 2）由于 A 正定，對(duì) 都有 , 0 ,nX R X? ? ? 0,X A X? ?因此有 ( ) 0 .X k A X k X A X?? ??1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ( ) ) ( )P AP P A P P A P E? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?,P A P E? ?令 1( ) ,QP ? ??故， 正定 . kA即， 與單位矩陣 E合同 . 1A?則 Q可逆，且 1 ,Q A Q E?? ?14 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 設(shè) A 為 n 階正定矩陣，證明 （ 5）若 B 亦是正定矩陣，則 A＋ B 也是正定矩陣； （ 2） 是正定矩陣； ( 0 )kA k ?（ 1） 是正定矩陣； 1A?（ 3） 是正定矩陣； *A（ 4） 是正定矩陣（ m為任意整數(shù)）； mA13 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 2) 實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定 d e t 0AA? ? ?但 不是 正定二次型 . 2212X A X x x? ? ? ?? ?10 , 1 001AA?? ? ??如 2 C C C?? ? ?注意 證： 若 A正定，則存在可逆矩陣 C ，使 ,A C C??從而 反之不然 . 即實(shí)對(duì)稱矩陣 A，且 A未必正定 . 0,A ?12 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 反之不然 . 即， 為對(duì)稱矩陣，且 ()ij n nAa ??但 A未必正定 . 如 0, 1 , 2, , ,iia i n?? ? ?11 ,11A ?? ?所以 A不是正定的 . 注意 21 2 1 2( , ) ( ) ,f x x X A X x x?? ? ?當(dāng) 時(shí)，有 1 2 1 21 ( , ) 0 .x x f x x? ? ?11 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 正定矩陣的必要條件 1） 實(shí)對(duì)稱矩陣 正定 ()ij n nAa ??0, 1 , 2, , .iia i n? ? ?取 ( 0 , , 0 , 1 , 0 , , 0 )i iX ?? 第 個(gè)正定 . 證： 若 A正定 ，則二次型 12( , , , ) X A Xnf x x x ??( ) 0, 1 , 2, ,i i i iif X X AX a i n?? ? ? ? 則 10 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 因?yàn)檎ǘ涡偷囊?guī)范形的矩陣為單位矩陣，
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