第四節(jié)正定二次型-wenkub.com
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【正文】 4 正定二次型 第五章 二次型 522260204A????????? ???1 5 0 ,? ? ? ? 252 26 0,26?? ? ? ??3 8 0 0A? ? ? ? ? (2) A故 為負(fù)定矩陣 , f 為負(fù)定二次型． 所以 10101aA a bb?????????1 1,?? 22 1 11a aa? ? ? ?223 1 ( )A a b? ? ? ? ? (3) , , 34 169。A C C??由此可得， A半正定 0A??注 : 在⑸中，僅有順序主子式大于或等于零 11 2 1 2200( , ) ( , )01xf x x x xx????????? ??? ??不能保證矩陣 A的半正定性的 . 比如 32 169。 2020, Henan Polytechnic University 30 167。 2020, Henan Polytechnic University 28 167。 2020, Henan Polytechnic University 26 167。 2020, Henan Polytechnic University 24 167。 2020, Henan Polytechnic University 22 167。 2020, Henan Polytechnic University 20 167。 2020, Henan Polytechnic University 18 167。 2020, Henan Polytechnic University 16 167。 2020, Henan Polytechnic University 14 167。 2020, Henan Polytechnic University 12 167。 2020, Henan Polytechnic University 10 167。 2020, Henan Polytechnic University 8 167。 2020, Henan Polytechnic University 6 167。 2020, Henan Polytechnic University 4 167。 2020, Henan Polytechnic University 2 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 則稱 f 為 正定二次型 . 12( , , , ) 0nf c c c ?是正定的； 如，二次型 2121( , , , )nniif x x x x?? ?一組不全為零的實(shí)數(shù) 都有 12, , , nc c c定義 ： 實(shí)二次型 若對(duì)任意 12( , , , )nf x x x一 、 正定二次型 12121( , , , )nniif x x x x??? ?二次型 不是正定的 . 3 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 經(jīng)過非退化線性替換 X＝ CY 化成 則， 引理 2 非退化線性替換不改變二次型的正定性 . 11220,00YYnnkcXCkc? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2( , , , ) ( ) ( , , , )nnf x x x Y C AC Y g y y y????1 2 0 0 0 0 1 2( , , , ) ( ) ( , , , )nnf c c c X A X Y C A C Y g k k k???? ? ?任取一組不全為零的數(shù) 令 12, , , ,nk k k證明： 設(shè)正定二次型 12( , , , )nf x x x X AX??5 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 定理 1 n元實(shí)二次型 正定 12( , , , )nf x x xX CY?證： 設(shè) 經(jīng)非退化線性替換 12( , , , )nf x x x2 2 21 2 1 1 2 2( , , , )n n nf x x x d y d y d y? ? ? ?變成標(biāo)準(zhǔn)形 由引理 1), 即， 的正慣性指數(shù) p＝ n f充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于 n. f ? 0, 1 , 2, ,id i n??正定 7 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 因?yàn)檎ǘ涡偷囊?guī)范形的矩陣為單位矩陣， 正定矩陣的判定 推論 1 實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定 定理 2 實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定 A與單位矩陣 E合同 . ?（ A與 E合同 ,即存在可逆矩陣 C， 使
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