第四節(jié)正定二次型-wenkub
2022-10-22 11:22:11 本頁面
【正文】 ） A C E C C C????存在可逆矩陣 C， 使 A C C???所以有： 推論 2 實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定 A與正對(duì)角矩陣合同 . ?9 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 反之不然 . 即， 為對(duì)稱矩陣，且 ()ij n nAa ??但 A未必正定 . 如 0, 1 , 2, , ,iia i n?? ? ?11 ,11A ?? ?所以 A不是正定的 . 注意 21 2 1 2( , ) ( ) ,f x x X A X x x?? ? ?當(dāng) 時(shí)，有 1 2 1 21 ( , ) 0 .x x f x x? ? ?11 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 設(shè) A 為 n 階正定矩陣，證明 （ 5）若 B 亦是正定矩陣，則 A＋ B 也是正定矩陣； （ 2） 是正定矩陣； ( 0 )kA k ?（ 1） 是正定矩陣； 1A?（ 3） 是正定矩陣； *A（ 4） 是正定矩陣（ m為任意整數(shù)）； mA13 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 ，由（ 1）（ 2）即得 正定 . *1A A A ??又 *A（ 3） A正定，則存在可逆矩陣 C， 使 A C C?? ，于是 2 0A C C C?? ? ?當(dāng) m＝ 2k 時(shí)， 2 ( ) ,m k k k k kA A A A A EA?? ? ?即， 與單位矩陣 E合同，所以 正定 . mAmA（ 4）由于 A 正定，知 為 n 階可逆對(duì)稱矩陣 ， mA15 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 順序主子式、主子式 、 () nnijA a R ???設(shè)矩陣 11 111)kkk kkaaPaa?稱為 A的第 k階 順序主子式 . 2） k 級(jí)行列式 1 1 1 2 12 1 2 2 212kkk k k ki i i i i ii i i i i iki i i i i ia a aa a aQa a a?即行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的 k階子式 稱為 A的一個(gè) k 階 主子式 . 17 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 是正定的 ， 從而 正定 . 12( , , , )knf x x x? ( 1 , 2, , )Ak對(duì)任意一不全為零的數(shù) 有 12, , , ,kc c c1 2 1 2( , , , ) ( , , , , 0, , 0 ) 0k k kf c c c f c c c??de t ( 1 , 2, , ) 0, 1 , 2, , .kP A k n? ? ? ?k充分性 ： 對(duì) n作數(shù)學(xué)歸納法 . n＝ 1時(shí) ， 正定 . 結(jié)論成立 . 211 11 11 10. ( )ia a f x a x? ? ? ?假設(shè)對(duì)于 n－ 1元二次型結(jié)論成立，下證 n元的情形 . 19 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 則 1112 1 1 2 0() 1 0 1nnnnnEGE E GC C AC CGaG? ??? ???? ????? ? ? ??? ? ? ? ? ??????? ? ? ???1 00nnnEa G G?????? ?? ?????令 ? ?1 0 ,01GC ?再令 12 ,01nEGC ?? ????? ????則 ? ? ? ? 1111 000 1 0 11 nnnEGAGGC ACGa???? ??? ????? ?? ?? ?????? ??21 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 判定下面二次型是否正定 . 其順序主子式 正定 . f?155 0 , 1 0 , 0 .PA? ? ? ? ? ? ?23 2 P P2 12 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 31 ) ( , , ) 5 5 4 8 4f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?解： 的矩陣 5 2 42 1 24 2 5A???? ??????1 2 3( , , )f x x x23 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 1 , 2 , , .kn? 正定 . f?111 1 1122 1111 1112222
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