第四節(jié)正定二次型(參考版)
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【正文】 2020, Henan Polytechnic University 34 167。 2020, Henan Polytechnic University 33 167。 2020, Henan Polytechnic University 32 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 ⑤ 的所有 主子式 皆大于或等于零 .（補(bǔ)充題 9） ④ 存在 ，使 nnCR?? 。 4 正定二次型 第五章 二次型 定理 3 12( , , , ) , ,nnnf x x x X A X A A R ???? ? ? ① 半正定 ； 12( , , , )nf x x x( 或 A半正定； ) 則下列有條件等價(jià)： ② 秩 = 秩 (A) = （ 正慣性指數(shù) ） ； f p設(shè) n元實(shí)二次型 ③ A合同于非負(fù)對(duì)角陣 ， 即存在可逆陣 C， 使 1, 0, 1 , 2, ,indC A C d i nd??? ??? ? ???31 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 1） 實(shí)二次型 正定 12( , , , )nf x x x12( , , , )nf x x x?? 負(fù)定； 實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定 － A負(fù)定 . ?半負(fù)定； 12( , , , )nf x x x??2） 實(shí)二次型 半正定 12( , , , )nf x x x實(shí)對(duì)稱矩陣 A半正定 － A半負(fù)定 . ?判定 30 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 注： ① 正定矩陣 ② 負(fù)定矩陣 ③ 半正定矩陣 ④ 半負(fù)定矩陣 ⑤ 不定矩陣 相應(yīng)于二次型的分類 ， n 級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣可分類為： 29 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 三、 n元實(shí)二次型的分類 設(shè) n元二次型 12( , , , ) , ,nnnf x x x X A X A A R ???? ? ?若對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù) 12, , , ,nc c c都有 ② ， 則 稱為 半正定二次型 . 12( , , , ) 0nf c c c ?f③ ，則 稱為 半負(fù)定二次型 . f12( , , , ) 0nf c c c ?① 則 稱為 負(fù)定二次型 . 12( , , , ) 0,nf c c c ?f④ 既不是半正定，也不是半負(fù)定，則 稱為 ff1．定義 不定二次型 . 28 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 其中， , , 1 , 2, ,0, , 1 , 2, ,sisjsc j i s kcj i s k???? ????當(dāng)當(dāng)對(duì)任意一不全為零的數(shù) , 有 12, , , ki i ic c c00 0,X A X? ?從而， 由于 A 正定，有 正定，即有 12( , , , )nf x x x X AX?? ?行列式大于零，即 1 2 1 2( , , , ) ( 0 , , 0 , , 0 , , , 0 , , , 0 , , 0 )kki i i i i ig c c c f c c c?00 0X AX???0 1 2( , , , ) 0,nX c c c ???即， 是正定二次型，因此其矩陣的 12( , , , )ki i ig x x x27 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 證明：若實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定 ，則 A的任意一個(gè) k 階主子式 證： 作二次型 1 1 1 2 12 1 2 2 2120.kkk k k ki i i i i ii i i i i iki i i i i ia a aa a aQa a a??1212( , , , )kkiii i i kixxx x x Qx????? ??????1211( , , , )k s t s tkki i i i i i istg x x x a x x??? ??26 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 1 , 2 , , .kn? 正定 . f?111 1 1122 1111 111222221111 11 2222kkkkP???11 1 1 110001 1 1 12 ( ) 0,2 2 2 2
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