第四節(jié)正定二次型-文庫吧資料
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【正文】 10002kkkk k k?? ? ?? ? ? ?25 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 解： 的矩陣 12( , , , )nf x x x111221112211122A?????????????????A的第 k階順序主子式 Pk （習(xí)題 7） 212112 ) ( , , , )nn i i ji i j nf x x x x x x? ? ? ?????24 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 判定下面二次型是否正定 . 其順序主子式 正定 . f?155 0 , 1 0 , 0 .PA? ? ? ? ? ? ?23 2 P P2 12 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 31 ) ( , , ) 5 5 4 8 4f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?解： 的矩陣 5 2 42 1 24 2 5A???? ??????1 2 3( , , )f x x x23 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 由判定充要條件 3). 知 A正定 ， 所以 正定 . X AX?再令 12 , nnC C C a a G G????? ? ?則有 1 00nEC A C a???? ? ????兩邊取行列式，得 2C A a?又 0 ， 0a??A即 為正對角矩陣 . 1nE a???????22 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 則 1112 1 1 2 0() 1 0 1nnnnnEGE E GC C AC CGaG? ??? ???? ????? ? ? ??? ? ? ? ? ??????? ? ? ???1 00nnnEa G G?????? ?? ?????令 ? ?1 0 ,01GC ?再令 12 ,01nEGC ?? ????? ????則 ? ? ? ? 1111 000 1 0 11 nnnEGAGGC ACGa???? ??? ????? ?? ?? ?????? ??21 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 又 A的順序主子式全大于零，所以 A1的順序主子式 由歸納假設(shè)， A1正定，即存在可逆矩陣 G， 使 令 111 1 , 1211 , 1 1 , 11,nnnn n nnnaaaaAaa a??? ? ??????????? ????????,=則 1nnAAa????? ?????11 .nG A G E ?? ?也全大于零 . ( ) .i j n nAa ??設(shè) 20 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 是正定的 ， 從而 正定 . 12( , , , )knf x x x? ( 1 , 2, , )Ak對任意一不全為零的數(shù) 有 12, , , ,kc c c1 2 1 2( , , , ) ( , , , , 0, , 0 ) 0k k kf c c c f c c c??de t ( 1 , 2, , ) 0, 1 , 2, , .kP A k n? ? ? ?k充分性 ： 對 n作數(shù)學(xué)歸納法 . n＝ 1時(shí) ， 正定 . 結(jié)論成立 . 211 11 11 10. ( )ia a f x a x? ? ? ?假設(shè)對于 n－ 1元二次型結(jié)論成立，下證 n元的情形 . 19 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 定理 3 A的順序主子式 Pk 全大于零 . ?1211( , , , )nnn ij i jijf x x x a x x X AX???????正定 實(shí)二次型 1211( , , , )kkk k ij i jijf x x x a x x??? ?? 11 12 1 121 22 2 21212( , , , )kkkkk k kka a a xa a a xx x xxa a a?? ???? ??? ??????????證 :必要性 .設(shè)
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