第四節(jié)正定二次型-資料下載頁
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【導(dǎo)讀】則稱f為正定二次型.f正定當(dāng)且僅當(dāng)0,1,2,,idin??引理2非退化線性替換不改變二次型的正定性.證明：設(shè)正定二次型12(,,,)nfxxxXAX??又由于C可逆，0Y?充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于n.因為正定二次型的規(guī)范形的矩陣為單位矩陣，推論2實對稱矩陣A正定A與正對角矩陣合同.?反之不然.即，為對稱矩陣，且()ijnnAa??反之不然.即實對稱矩陣A，且A未必正定.0,A?若B亦是正定矩陣，則A＋B也是正定矩陣；A正定，則存在可逆矩陣C，使ACC??
【正文】 c ?① 則 稱為 負定二次型 . 12( , , , ) 0,nf c c c ?f④ 既不是半正定，也不是半負定，則 稱為 ff1．定義 不定二次型 . 28 169。 2020, Henan Polytechnic University 28 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 注： ① 正定矩陣 ② 負定矩陣 ③ 半正定矩陣 ④ 半負定矩陣 ⑤ 不定矩陣 相應(yīng)于二次型的分類 ， n 級實對稱矩陣可分類為： 29 169。 2020, Henan Polytechnic University 29 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 1） 實二次型 正定 12( , , , )nf x x x12( , , , )nf x x x?? 負定； 實對稱矩陣 A正定 － A負定 . ?半負定； 12( , , , )nf x x x??2） 實二次型 半正定 12( , , , )nf x x x實對稱矩陣 A半正定 － A半負定 . ?判定 30 169。 2020, Henan Polytechnic University 30 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 定理 3 12( , , , ) , ,nnnf x x x X A X A A R ???? ? ? ① 半正定 ； 12( , , , )nf x x x( 或 A半正定； ) 則下列有條件等價： ② 秩 = 秩 (A) = （ 正慣性指數(shù) ） ； f p設(shè) n元實二次型 ③ A合同于非負對角陣 ， 即存在可逆陣 C， 使 1, 0, 1 , 2, ,indC A C d i nd??? ??? ? ???31 169。 2020, Henan Polytechnic University 31 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 ⑤ 的所有 主子式 皆大于或等于零 .（補充題 9） ④ 存在 ，使 nnCR?? 。A C C??由此可得， A半正定 0A??注 : 在⑸中，僅有順序主子式大于或等于零 11 2 1 2200( , ) ( , )01xf x x x xx????????? ??? ??不能保證矩陣 A的半正定性的 . 比如 32 169。 2020, Henan Polytechnic University 32 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 4 判斷下列二次型的正定性： 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( 1 ) ( , , ) 5 5 4 8 4f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?2221 2 3 1 2 3 1 2 1 3( 2 ) ( , , ) 5 6 4 4 4f x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?2221 2 3 1 2 3 1 2 2 3( 3 ) ( , , ) 2 2f x x x x x x a x x b x x? ? ? ? ?( , )a b R?解 (1) 5242 1 2425A?????????????1 5 0 ,? ? ? 252 1 0,21? ? ? ? 310A? ? ? ? A故 為正定矩陣 , f 為正定二次型． 所以 33 169。 2020, Henan Polytechnic University 33 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 522260204A????????? ???1 5 0 ,? ? ? ? 252 26 0,26?? ? ? ??3 8 0 0A? ? ? ? ? (2) A故 為負定矩陣 , f 為負定二次型． 所以 10101aA a bb?????????1 1,?? 22 1 11a aa? ? ? ?223 1 ( )A a b? ? ? ? ? (3) , , 34 169。 2020, Henan Polytechnic University 34 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 1 2 30 , 0 , 0? ? ? ? ? ?130 , 0? ? ? ?22 1ab??當(dāng) 時 , A故 為正定矩陣 , f 為正定二次型． 所以 22 1ab??當(dāng) 時 , 有 有 A則 為不定矩陣 , f 為不定二次型． 所以
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