【正文】 1 11 11 10. ( )ia a f x a x? ? ? ?假設(shè)對于 n－ 1元二次型結(jié)論成立，下證 n元的情形 . 19 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 反之不然 . 即， 為對稱矩陣，且 ()ij n nAa ??但 A未必正定 . 如 0, 1 , 2, , ,iia i n?? ? ?11 ,11A ?? ?所以 A不是正定的 . 注意 21 2 1 2( , ) ( ) ,f x x X A X x x?? ? ?當(dāng) 時，有 1 2 1 21 ( , ) 0 .x x f x x? ? ?11 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 則稱 f 為 正定二次型 . 12( , , , ) 0nf c c c ?是正定的； 如，二次型 2121( , , , )nniif x x x x?? ?一組不全為零的實數(shù) 都有 12, , , nc c c定義 ： 實二次型 若對任意 12( , , , )nf x x x一 、 正定二次型 12121( , , , )nniif x x x x??? ?二次型 不是正定的 . 3 169。 2020, Henan Polytechnic University 8 167。 2020, Henan Polytechnic University 16 167。 2020, Henan Polytechnic University 24 167。A C C??由此可得， A半正定 0A??注 : 在⑸中，僅有順序主子式大于或等于零 11 2 1 2200( , ) ( , )01xf x x x xx????????? ??? ??不能保證矩陣 A的半正定性的 . 比如 32 169。 2020, Henan Polytechnic University 30 167。 2020, Henan Polytechnic University 22 167。 2020, Henan Polytechnic University 14 167。 2020, Henan Polytechnic University 6 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 經(jīng)過非退化線性替換 X＝ CY 化成 則， 引理 2 非退化線性替換不改變二次型的正定性 . 11220,00YYnnkcXCkc? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2( , , , ) ( ) ( , , , )nnf x x x Y C AC Y g y y y????1 2 0 0 0 0 1 2( , , , ) ( ) ( , , , )nnf c c c X A X Y C A C Y g k k k???? ? ?任取一組不全為零的數(shù) 令 12, , , ,nk k k證明： 設(shè)正定二次型 12( , , , )nf x x x X AX??5 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 設(shè) A 為 n 階正定矩陣，證明 （ 5）若 B 亦是正定矩陣，則 A＋ B 也是正定矩陣； （ 2） 是正定矩陣； ( 0 )kA k ?（ 1） 是正定矩陣； 1A?（ 3） 是正定矩陣； *A（ 4） 是正定矩陣（ m為任意整數(shù)）； mA13 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 則 1112 1 1 2 0() 1 0 1nnnnnEGE E GC C AC CGaG? ??? ???? ????? ? ? ??? ? ? ? ? ??????? ? ? ???1 00nnnEa G G?????? ?? ?????令 ? ?1 0 ,01GC ?再令 12 ,01nEGC ?? ????? ????則 ? ? ? ? 1111 000 1 0 11 nnnEGAGGC ACGa???? ??? ????? ?? ?? ?????? ??21 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 注： ① 正定矩陣 ② 負(fù)定矩陣 ③ 半正定矩陣 ④ 半負(fù)定矩陣 ⑤ 不定矩陣 相應(yīng)于二次型的分類 ， n 級實對稱矩陣可分類為： 29 169。 2020, Henan Polytechnic University 33 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 證