第四節(jié)正定二次型(存儲(chǔ)版)
【正文】 ? ?則有 1 00nEC A C a???? ? ????兩邊取行列式，得 2C A a?又 0 ， 0a??A即 為正對(duì)角矩陣 . 1nE a???????22 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 證明：若實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定 ，則 A的任意一個(gè) k 階主子式 證： 作二次型 1 1 1 2 12 1 2 2 2120.kkk k k ki i i i i ii i i i i iki i i i i ia a aa a aQa a a??1212( , , , )kkiii i i kixxx x x Qx????? ??????1211( , , , )k s t s tkki i i i i i istg x x x a x x??? ??26 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 1） 實(shí)二次型 正定 12( , , , )nf x x x12( , , , )nf x x x?? 負(fù)定； 實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定 － A負(fù)定 . ?半負(fù)定； 12( , , , )nf x x x??2） 實(shí)二次型 半正定 12( , , , )nf x x x實(shí)對(duì)稱矩陣 A半正定 － A半負(fù)定 . ?判定 30 169。 2020, Henan Polytechnic University 33 167。 2020, Henan Polytechnic University 32 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 注： ① 正定矩陣 ② 負(fù)定矩陣 ③ 半正定矩陣 ④ 半負(fù)定矩陣 ⑤ 不定矩陣 相應(yīng)于二次型的分類 ， n 級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣可分類為： 29 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 1 , 2 , , .kn? 正定 . f?111 1 1122 1111 111222221111 11 2222kkkkP???11 1 1 110001 1 1 12 ( ) 0,2 2 2 210002kkkk k k?? ? ?? ? ? ?25 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 則 1112 1 1 2 0() 1 0 1nnnnnEGE E GC C AC CGaG? ??? ???? ????? ? ? ??? ? ? ? ? ??????? ? ? ???1 00nnnEa G G?????? ?? ?????令 ? ?1 0 ,01GC ?再令 12 ,01nEGC ?? ????? ????則 ? ? ? ? 1111 000 1 0 11 nnnEGAGGC ACGa???? ??? ????? ?? ?? ?????? ??21 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 順序主子式、主子式 、 () nnijA a R ???設(shè)矩陣 11 111)kkk kkaaPaa?稱為 A的第 k階 順序主子式 . 2） k 級(jí)行列式 1 1 1 2 12 1 2 2 212kkk k k ki i i i i ii i i i i iki i i i i ia a aa a aQa a a?即行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的 k階子式 稱為 A的一個(gè) k 階 主子式 . 17 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 設(shè) A 為 n 階正定矩陣，證明 （ 5）若 B 亦是正定矩陣，則 A＋ B 也是正定矩陣； （ 2） 是正定矩陣； ( 0 )kA k ?（ 1） 是正定矩陣； 1A?（ 3） 是正定矩陣； *A（ 4） 是正定矩陣（ m為任意整數(shù)）； mA13 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 因?yàn)檎ǘ涡偷囊?guī)范形的矩陣為單位矩陣， 正定矩陣的判定 推論 1 實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定 定理 2 實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定 A與單位矩陣 E合同 . ?（ A與 E合同 ,即存在可逆矩陣 C， 使 ） A C E C C C????存在可逆矩陣 C， 使 A C C???所以有： 推論 2 實(shí)對(duì)稱矩陣 A正定
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