第四節(jié)正定二次型-在線瀏覽
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【正文】 正定矩陣的判定 推論 1 實對稱矩陣 A正定 定理 2 實對稱矩陣 A正定 A與單位矩陣 E合同 . ?（ A與 E合同 ,即存在可逆矩陣 C， 使 ） A C E C C C????存在可逆矩陣 C， 使 A C C???所以有： 推論 2 實對稱矩陣 A正定 A與正對角矩陣合同 . ?9 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 規(guī)范形為 2 2 212 nz z z? ? ?2 2 21 1 2 2 , 0 , 1 , 2 , ,n n id y d y d y d i n? ? ? ? ?推論 正定二次型 的標準形為 12( , , , )nf x x x二、正定矩陣 定義 設(shè) A為實對稱矩陣，若二次型 X AX? 是正定的 ， 則稱 A為 正定矩陣 . 8 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 定理 1 n元實二次型 正定 12( , , , )nf x x xX CY?證： 設(shè) 經(jīng)非退化線性替換 12( , , , )nf x x x2 2 21 2 1 1 2 2( , , , )n n nf x x x d y d y d y? ? ? ?變成標準形 由引理 1), 即， 的正慣性指數(shù) p＝ n f充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于 n. f ? 0, 1 , 2, ,id i n??正定 7 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 所以，非退化線性 替換不改變二次型的正定性 . 又由于 C可逆， 0Y ?0 ，所以 0,X ?0同理，若 正定，則 正定 . fg1 2 1 2( , , , ) ( , , , ) 0nng k k k f c c c? ? ?12( , , , )ng y y y? 正 定 .反之，實二次型 可經(jīng)過非退化 12( , , , )ng y y y不全為 0. 即 12, , , nc c c線性 替換 變到實二次型 12( , , , ) ,nf x x xYX1=C6 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 經(jīng)過非退化線性替換 X＝ CY 化成 則， 引理 2 非退化線性替換不改變二次型的正定性 . 11220,00YYnnkcXCkc? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2( , , , ) ( ) ( , , , )nnf x x x Y C AC Y g y y y????1 2 0 0 0 0 1 2( , , , ) ( ) ( , , , )nnf c c c X A X Y C A C Y g k k k???? ? ?任取一組不全為零的數(shù) 令 12, , , ,nk k k證明： 設(shè)正定二次型 12( , , , )nf x x x X AX??5 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 正定性的判定 引理 1 設(shè)實二次型 f 正定當且僅當 0 , 1 , 2 , ,id i n??證： 充分性顯然 . 下證必要性，若 f 正定，取 2 2 21 2 1 1 2 2( , , , )n n nf x x x d x d x d x? ? ? ? 則 20( ) 0 , i i if X d x d? ? ?0 ()( 0 , , 0 , 1 , 0 , , 0 ) 0 , 1 , 2 , ,iX i n?? ? ?0, 1 , 2, ,id i n? ? ?4 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 則稱 f 為 正定二次型 . 12( , , , ) 0nf c c c ?是正定的； 如，二次型 2121( , , , )nniif x x x x?? ?一組不全為零的實數(shù) 都有 12, , , nc c c定義 ： 實二次型 若對任意 12( , , , )nf x x x一 、 正定二次型 12121( , , , )nniif x x x x??? ?二次型 不是正定的 . 3 169。1 第四節(jié) 正定二次型 一、正定二次型 二、正定矩陣 三、 n元實二次型的分類 2 169。 2020, Henan Polytechnic University 2 167。 2020, Henan Polytechnic University 3 167。 2020, Henan Polytechnic Univer
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