第四節(jié)正定二次型-預(yù)覽頁
【正文】 x x ??( ) 0, 1 , 2, ,i i i iif X X AX a i n?? ? ? ? 則 10 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 規(guī)范形為 2 2 212 nz z z? ? ?2 2 21 1 2 2 , 0 , 1 , 2 , ,n n id y d y d y d i n? ? ? ? ?推論 正定二次型 的標(biāo)準(zhǔn)形為 12( , , , )nf x x x二、正定矩陣 定義 設(shè) A為實(shí)對(duì)稱矩陣，若二次型 X AX? 是正定的 ， 則稱 A為 正定矩陣 . 8 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 所以，非退化線性 替換不改變二次型的正定性 . 又由于 C可逆， 0Y ?0 ，所以 0,X ?0同理，若 正定，則 正定 . fg1 2 1 2( , , , ) ( , , , ) 0nng k k k f c c c? ? ?12( , , , )ng y y y? 正 定 .反之，實(shí)二次型 可經(jīng)過非退化 12( , , , )ng y y y不全為 0. 即 12, , , nc c c線性 替換 變到實(shí)二次型 12( , , , ) ,nf x x xYX1=C6 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 正定性的判定 引理 1 設(shè)實(shí)二次型 f 正定當(dāng)且僅當(dāng) 0 , 1 , 2 , ,id i n??證： 充分性顯然 . 下證必要性，若 f 正定，取 2 2 21 2 1 1 2 2( , , , )n n nf x x x d x d x d x? ? ? ? 則 20( ) 0 , i i if X d x d? ? ?0 ()( 0 , , 0 , 1 , 0 , , 0 ) 0 , 1 , 2 , ,iX i n?? ? ?0, 1 , 2, ,id i n? ? ?4 169。1 第四節(jié) 正定二次型 一、正定二次型 二、正定矩陣 三、 n元實(shí)二次型的分類 2 169。 2020, Henan Polytechnic University 3 167。 2020, Henan Polytechnic University 5 167。 2020, Henan Polytechnic University 7 167。 2020, Henan Polytechnic University 9 167。 2020, Henan Polytechnic University 11 167。 2020, Henan Polytechnic University 13 167。 2020, Henan Polytechnic University 15 167。 2020, Henan Polytechnic University 17 167。 2020, Henan Polytechnic University 19 167。 2020, Henan Polytechnic University 21 167。 2020, Henan Polytechnic University 23 167。 2020, Henan Polytechnic University 25 167。 2020, Henan Polytechnic University 27 167。 2020, Henan Polytechnic University 29 167。 2020, Henan Polytechnic University 31 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 4 判斷下列二次型的正定性： 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( 1 ) ( , , ) 5 5 4 8 4f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?2221 2 3 1 2 3 1 2 1 3( 2 ) ( , , ) 5 6 4 4 4f x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?2221 2 3 1 2 3 1 2 2 3( 3 ) ( , , ) 2 2f x x x x x x a x x b x x? ? ? ? ?( , )a b R?解 (1) 5242 1 2425A?????????????1 5 0 ,? ? ? 252 1 0,21? ? ? ? 310A? ? ? ? A故 為正定矩陣 , f 為正定二次型． 所以 33 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 1 2 30 , 0 , 0? ? ? ? ? ?130 , 0? ? ? ?22 1ab??當(dāng) 時(shí) , A故 為正定矩陣 , f 為正定二次型． 所以 22 1ab??當(dāng) 時(shí) , 有 有 A則 為不定矩陣 , f 為不定二次型． 所以
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