第四節(jié)正定二次型-文庫吧在線文庫
【正文】 A與正對角矩陣合同 . ?9 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 經過非退化線性替換 X＝ CY 化成 則， 引理 2 非退化線性替換不改變二次型的正定性 . 11220,00YYnnkcXCkc? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2( , , , ) ( ) ( , , , )nnf x x x Y C AC Y g y y y????1 2 0 0 0 0 1 2( , , , ) ( ) ( , , , )nnf c c c X A X Y C A C Y g k k k???? ? ?任取一組不全為零的數 令 12, , , ,nk k k證明： 設正定二次型 12( , , , )nf x x x X AX??5 169。 2020, Henan Polytechnic University 2 167。 2020, Henan Polytechnic University 6 167。 2020, Henan Polytechnic University 10 167。 2020, Henan Polytechnic University 14 167。 2020, Henan Polytechnic University 18 167。 2020, Henan Polytechnic University 22 167。 2020, Henan Polytechnic University 26 167。 2020, Henan Polytechnic University 30 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 522260204A????????? ???1 5 0 ,? ? ? ? 252 26 0,26?? ? ? ??3 8 0 0A? ? ? ? ? (2) A故 為負定矩陣 , f 為負定二次型． 所以 10101aA a bb?????????1 1,?? 22 1 11a aa? ? ? ?223 1 ( )A a b? ? ? ? ? (3) , , 34 169。A C C??由此可得， A半正定 0A??注 : 在⑸中，僅有順序主子式大于或等于零 11 2 1 2200( , ) ( , )01xf x x x xx????????? ??? ??不能保證矩陣 A的半正定性的 . 比如 32 169。 2020, Henan Polytechnic University 28 167。 2020, Henan Polytechnic University 24 167。 2020, Henan Polytechnic University 20 167。 2020, Henan Polytechnic University 16 167。 2020, Henan Polytechnic University 12 167。 2020, Henan Polytechnic University 8 167。 2020, Henan Polytechnic University 4 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 則稱 f 為 正定二次型 . 12( , , , ) 0nf c c c ?是正定的； 如，二次型 2121( , , , )nniif x x x x?? ?一組不全為零的實數 都有 12, , , nc c c定義 ： 實二次型 若對任意 12( , , , )nf x x x一 、 正定二次型 12121( , , , )nniif x x x x??? ?二次型 不是正定的 . 3 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 定理 1 n元實二次型 正定 12( , , , )nf x x xX CY?證： 設 經非退化線性替換 12( , , , )nf x x x2 2 21 2 1 1 2 2( , , , )n n nf x x x d y d y d y? ? ? ?變成標準形 由引理 1), 即， 的正慣性指數 p＝ n f充分必要條件是它的正慣性指數等于 n. f ? 0, 1 , 2, ,id i n??正定 7 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 反之不然 . 即， 為對稱矩陣，且 ()ij n nAa ??但 A未必正定 . 如 0, 1 , 2, , ,iia i n?? ? ?11 ,11A ??
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