第四節(jié)正定二次型(完整版)
【正文】 ?所以 A不是正定的 . 注意 21 2 1 2( , ) ( ) ,f x x X A X x x?? ? ?當 時，有 1 2 1 21 ( , ) 0 .x x f x x? ? ?11 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 ，由（ 1）（ 2）即得 正定 . *1A A A ??又 *A（ 3） A正定，則存在可逆矩陣 C， 使 A C C?? ，于是 2 0A C C C?? ? ?當 m＝ 2k 時， 2 ( ) ,m k k k k kA A A A A EA?? ? ?即， 與單位矩陣 E合同，所以 正定 . mAmA（ 4）由于 A 正定，知 為 n 階可逆對稱矩陣 ， mA15 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 是正定的 ， 從而 正定 . 12( , , , )knf x x x? ( 1 , 2, , )Ak對任意一不全為零的數(shù) 有 12, , , ,kc c c1 2 1 2( , , , ) ( , , , , 0, , 0 ) 0k k kf c c c f c c c??de t ( 1 , 2, , ) 0, 1 , 2, , .kP A k n? ? ? ?k充分性 ： 對 n作數(shù)學歸納法 . n＝ 1時 ， 正定 . 結(jié)論成立 . 211 11 11 10. ( )ia a f x a x? ? ? ?假設對于 n－ 1元二次型結(jié)論成立，下證 n元的情形 . 19 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 例 判定下面二次型是否正定 . 其順序主子式 正定 . f?155 0 , 1 0 , 0 .PA? ? ? ? ? ? ?23 2 P P2 12 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 31 ) ( , , ) 5 5 4 8 4f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?解： 的矩陣 5 2 42 1 24 2 5A???? ??????1 2 3( , , )f x x x23 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 其中， , , 1 , 2, ,0, , 1 , 2, ,sisjsc j i s kcj i s k???? ????當當對任意一不全為零的數(shù) , 有 12, , , ki i ic c c00 0,X A X? ?從而， 由于 A 正定，有 正定，即有 12( , , , )nf x x x X AX?? ?行列式大于零，即 1 2 1 2( , , , ) ( 0 , , 0 , , 0 , , , 0 , , , 0 , , 0 )kki i i i i ig c c c f c c c?00 0X AX???0 1 2( , , , ) 0,nX c c c ???即， 是正定二次型，因此其矩陣的 12( , , , )ki i ig x x x27 169。 4 正定二次型 第五章 二次型 定理 3 12( , , , ) , ,nnnf x x x X A X A A R ???? ? ? ① 半正定 ； 12( , , , )nf x x x( 或 A半正定； ) 則下列有條件等價： ② 秩 = 秩 (A) = （ 正慣性指數(shù) ） ； f p設 n元實二次型 ③ A合同于非負對角陣 ， 即存在可逆陣 C， 使 1, 0, 1 , 2, ,indC A C d i nd??? ??? ? ???31 169。 2020, Henan Polytechnic University 34 167。 4 正定二次型 第五章 二次型 ⑤ 的所有 主子式 皆大于或等于零 .（補充題 9） ④ 存在 ，使 nnCR?? 。 4 正定二次型 第五章 二次型 三、 n元實二次型的分類 設 n元二次型 12( , , , ) , ,nnnf x x x X A X A A R ???? ? ?若對任意一組不全為零的實數(shù) 12, , , ,nc c c都有 ② ， 則 稱為 半正定二次型 . 12( , , , ) 0nf c c c ?f③ ，則 稱為 半負定二次型 . f12( , , , ) 0nf c c c ?①
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